- 数学C｜複素数平面「複素数の点の回転と正三角形」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数の点の回転と正三角形
複素数平面 14複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm O}(0)~,~\)\({\rm A}(1+i)~,~\)\({\rm B}\) が正三角形となる点 \({\rm B}\) を複素数で表す方法は？
高校数学C｜複素数平面
解法のPoint
複素数の点の回転と正三角形
Point：複素数の点の回転と正三角形
複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm O}~,~{\rm A}~,~{\rm B}\) が正三角形となるとき、
点 \({\rm B}\) は、点 \({\rm A}\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) または \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ回転させた点となる。
複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm O}~,~{\rm A}~,~{\rm B}\) が角 \({\rm A}\) が直角の直角二等辺三角形となるとき、
点 \({\rm B}\) は、点 \({\rm A}\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) または \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) だけ回転させ、原点からの距離を \(\sqrt{2}\) 倍した点である。
■ 点の回転と正三角形
複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm O}~,~{\rm A}~,~{\rm B}\) が正三角形となるとき、
点 \({\rm B}\) は、点 \({\rm A}\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) または \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ回転させた点となる。
■ 点の回転と直角二等辺三角形
複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm O}~,~{\rm A}~,~{\rm B}\) が角 \({\rm A}\) が直角の直角二等辺三角形となるとき、
点 \({\rm B}\) は、点 \({\rm A}\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) または \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) だけ回転させ、原点からの距離を \(\sqrt{2}\) 倍した点である。
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詳しい解説｜複素数の点の回転と正三角形
複素数平面 14複素数平面上の \(3\) 点 \({\rm O}(0)~,~\)\({\rm A}(1+i)~,~\)\({\rm B}\) が正三角形となる点 \({\rm B}\) を複素数で表す方法は？
高校数学C｜複素数平面
\(3\) 点 \({\rm O}~,~{\rm A}~,~{\rm B}\) が正三角形となるとき、
点 \({\rm B}\) は、点 \({\rm A}\) を原点を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) または \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ回転させた点となる
点 \({\rm A}\) を \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ回転させた点は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)(1+i)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\right)(1+i)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}i+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)i
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
点 \({\rm A}\) を \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) だけ回転させた点は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left\{\cos\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+i\sin\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\right\}(1+i)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\right)(1+i)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}i-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)i
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1-\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
したがって、
点 \({\rm B}\) は、\({\rm B}\left(\displaystyle \frac{\,1-\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\right)\) または \({\rm B}\left(\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1-\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i\right)\) となる
