- 数学C｜複素数平面「共役な複素数・逆数の極形式」の基本例題解説ページです。
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問題｜共役な複素数・逆数の極形式
複素数平面 11複素数 \(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\) のとき、\(\overline{z}~,~\)\(-z~,~\)\(-\overline{z}\) のそれぞれの極形式での表し方は？また、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) の極形式での表し方は？
高校数学C｜複素数平面
解法のPoint
共役な複素数・逆数の極形式
Point：共役な複素数・逆数の極形式
これより、極形式で表すと、
\(\overline{z}=r\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}\)
\(-z=r\{\cos(\theta+\pi)+i\sin(\theta+\pi)\}\)
\(-\overline{z}=r\{\cos(\pi-\theta)+i\sin(\pi-\theta)\}\)
また、逆数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) は、商の極形式より、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}\)
それぞれの複素数を図に表すと、偏角は、
これより、極形式で表すと、
\(\overline{z}=r\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}\)
\(-z=r\{\cos(\theta+\pi)+i\sin(\theta+\pi)\}\)
\(-\overline{z}=r\{\cos(\pi-\theta)+i\sin(\pi-\theta)\}\)
また、逆数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) は、商の極形式より、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}\)
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詳しい解説｜共役な複素数・逆数の極形式
複素数平面 11複素数 \(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\) のとき、\(\overline{z}~,~\)\(-z~,~\)\(-\overline{z}\) のそれぞれの極形式での表し方は？また、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) の極形式での表し方は？
高校数学C｜複素数平面
\(z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\) より、
\(\overline{z}\) は、\(\overline{z}=r(\cos \theta-i\sin \theta)\) で、
偏角は \(\arg \overline{z}=-\theta\) となる
したがって、
\(\overline{z}=r\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}\) となる
また、\(-z\) は、\(-z=r(-\cos \theta-i\sin \theta)\) で、
偏角は \(\arg(-z)=\theta+\pi\) となる
したがって、
\(-z=r\{\cos(\theta+\pi)+i\sin(\theta+\pi)\}\) となる
また、\(-\overline{z}\) は、\(-\overline{z}=r(-\cos \theta+i\sin \theta)\) で、
偏角は \(\arg(-\overline{z})=\pi-\theta\) となる
したがって、
\(-\overline{z}=r\{\cos(\pi-\theta)+i\sin(\pi-\theta)\}\) となる
次に、\(1=\cos 0+i\sin 0\) として、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) を商の極形式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\displaystyle \frac{\,\cos 0+i\sin 0\,}{\,r(\cos \theta+i\sin \theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\{\cos(0-\theta)+i\sin(0-\theta)\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,r\,}\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}\) となる
