- 数学C｜複素数平面「複素数の点を中心とした点の回転」の基本例題解説ページです。
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問題｜複素数の点を中心とした点の回転
複素数平面 15\(\alpha=2-3i~,~\)\(\beta=1+4i\) のとき、点 \(\beta\) を点 \(\alpha\) を中心として、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) だけ回転した点を表す複素数 \(\gamma\) の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
解法のPoint
複素数の点を中心とした点の回転
Point：複素数の点を中心とした点の回転
① 点 \(\alpha\) を原点に平行移動したときの点 \(\beta^{\prime}~,~\gamma^{\prime}\) を考える。
\(\beta^{\prime}=\beta-\alpha~,~\)\(\gamma^{\prime}=\gamma-\alpha\)
② 原点を中心とした回転より、\(\gamma^{\prime}\) を求める。
\(\gamma^{\prime}=(\cos \theta+i\sin \theta) \cdot \beta^{\prime}\)
③ \(\beta^{\prime}~,~\gamma^{\prime}\) をもとの位置に戻して、\(\gamma\) を求める。
\(\gamma-\alpha=(\cos \theta+i\sin \theta) \cdot (\beta-\alpha)\)
点 \(\beta\) を点 \(\alpha\) を中心に \(\theta\) だけ回転した点 \(\gamma\)は、
① 点 \(\alpha\) を原点に平行移動したときの点 \(\beta^{\prime}~,~\gamma^{\prime}\) を考える。
\(\beta^{\prime}=\beta-\alpha~,~\)\(\gamma^{\prime}=\gamma-\alpha\)
② 原点を中心とした回転より、\(\gamma^{\prime}\) を求める。
\(\gamma^{\prime}=(\cos \theta+i\sin \theta) \cdot \beta^{\prime}\)
③ \(\beta^{\prime}~,~\gamma^{\prime}\) をもとの位置に戻して、\(\gamma\) を求める。
\(\gamma-\alpha=(\cos \theta+i\sin \theta) \cdot (\beta-\alpha)\)
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詳しい解説｜複素数の点を中心とした点の回転
複素数平面 15\(\alpha=2-3i~,~\)\(\beta=1+4i\) のとき、点 \(\beta\) を点 \(\alpha\) を中心として、\(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) だけ回転した点を表す複素数 \(\gamma\) の求め方は？
高校数学C｜複素数平面
点 \(\beta\) を点 \(\alpha\) を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) だけ回転した点が \(\gamma\)より、
\(\gamma-\alpha=\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)(\beta-\alpha)\)
\(\alpha=2-3i~,~\beta=1+4i\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\gamma-(2-3i)&=&(0+i \cdot 1)\{(1+4i)-(2-3i)\}
\\[3pt]~~~\gamma&=&i(1+4i-2+3i)+(2-3i)
\\[3pt]~~~\gamma&=&i(-1+7i)+2-3i
\\[3pt]~~~\gamma&=&-i+7i^2+2-3i
\\[3pt]~~~\gamma&=&-7+2-i-3i
\\[3pt]~~~\gamma&=&-5-4i\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~\gamma&=&i(1+4i-2+3i)+(2-3i)
\\[3pt]~~~\gamma&=&i(-1+7i)+2-3i
\\[3pt]~~~\gamma&=&-i+7i^2+2-3i
\\[3pt]~~~\gamma&=&-7+2-i-3i
\\[3pt]~~~\gamma&=&-5-4i\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(\gamma=-5-4i\) となる
