- 数学C｜複素数平面「回転移動後の複素数の点」の基本例題解説ページです。
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問題｜回転移動後の複素数の点
複素数平面 13点 \(1+\sqrt{\,3\,}i\) を原点 \({\rm O}\) を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) だけ回転させた点を複素数で表す方法は？
高校数学C｜複素数平面
解法のPoint
回転移動後の複素数の点
Point：回転移動後の複素数の点
\((\cos \theta+i\sin \theta) \cdot z\)
複素数を表す点 \(z\) を、原点 \({\rm O}\) を中心に \(\theta\) だけ回転させた点の複素数は、
\((\cos \theta+i\sin \theta) \cdot z\)
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詳しい解説｜回転移動後の複素数の点
複素数平面 13点 \(1+\sqrt{\,3\,}i\) を原点 \({\rm O}\) を中心に \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\)\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) だけ回転させた点を複素数で表す方法は？
高校数学C｜複素数平面
\(1+\sqrt{\,3\,}i\) を \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) だけ回転させると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}+i\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)(1+\sqrt{\,3\,}i)
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}i\right)(1+\sqrt{\,3\,}i)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}i+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}i+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}i^2
\\[5pt]~~~&=&\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\right)+2i
\\[5pt]~~~&=&2i\end{eqnarray}\)
したがって、\(2i\) となる
\(1+\sqrt{\,3\,}i\) を \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\) だけ回転させると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\right)(1+\sqrt{\,3\,}i)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\right)(1+\sqrt{\,3\,}i)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}i+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}i^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\right)+\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right)i
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}-\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i\right)(1+\sqrt{\,3\,}i)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}i+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}i+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}i^2
\\[5pt]~~~&=&\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\right)+\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right)i
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}-\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}i\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}+\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}-\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}i\) となる
\(1+\sqrt{\,3\,}i\) を \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) だけ回転させると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\cos \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi+i\sin \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)(1+\sqrt{\,3\,}i)
\\[5pt]~~~&=&(0-i)(1+\sqrt{\,3\,}i)
\\[5pt]~~~&=&-i(1+\sqrt{\,3\,}i)
\\[5pt]~~~&=&-i-\sqrt{\,3\,}i^2
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,3\,}-i\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sqrt{\,3\,}-i\) となる
