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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+y^2=1\) と直線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+k\) が \(2\) つの共有点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) をもつとき、線分 \({\rm PQ}\) の中点 \({\rm R}\) は、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\) 上の \(-\sqrt{\,2\,} \lt x \lt \sqrt{\,2\,}\) の部分にあることを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.114 練習問題A 3
[証明] 楕円と直線との共有点の \(x\) 座標を \(\alpha~,~\beta\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+y^2=1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\ y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+k~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に \({\small [\,2\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+k\right)^2&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^2+kx+k^2&=&1\end{eqnarray}\)
両辺に \(4\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+x^2+4kx+4k^2&=&4
\\[3pt]~~~2x^2+4kx+4k^2-4&=&0
\\[3pt]~~~x^2+2kx+2k^2-2&=&0~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(2\) つの共有点をもつのは、\({\small [\,3\,]}\) が異なる \(2\) つの実数解をもつときなので、
\({\small [\,3\,]}\) の判別式 \(D\) について \(D \gt 0\) となる
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~D&=&(2k)^2-4 \cdot 1 \cdot (2k^2-2)
\\[3pt]~~~&=&4k^2-8k^2+8
\\[3pt]~~~&=&-4k^2+8\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~-4k^2+8&\gt&0
\\[3pt]~~~-4k^2&\gt&-8
\\[3pt]~~~k^2&\lt&2\end{eqnarray}\)
\(-\sqrt{\,2\,} \lt k \lt \sqrt{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,4\,]}\)
また、\({\small [\,3\,]}\) の異なる \(2\) つの解が \(\alpha~,~\beta\) となるので、
解と係数の関係より、
\(\alpha+\beta=-\displaystyle \frac{\,2k\,}{\,1\,}=-2k~~~\cdots {\small [\,5\,]}\)
ここで、中点 \({\rm R}\) の座標を \((X~,~Y)\) とおくと、
中点の \(x\) 座標は \(\displaystyle \frac{\,\alpha+\beta\,}{\,2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~X&=&\displaystyle \frac{\,\alpha+\beta\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2k\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-k~~~\cdots {\small [\,6\,]}\end{eqnarray}\)
また、この中点は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~Y&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-k)+k
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k+k
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k~~~\cdots {\small [\,7\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\({\small [\,6\,]}\) より \(k=-X\) となるので、
これを \({\small [\,7\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~Y&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-X)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}X\end{eqnarray}\)
よって、中点 \({\rm R}\) は直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\) 上にある
また、\({\small [\,4\,]}\) に \(k=-X\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-\sqrt{\,2\,} &\lt& -X \lt \sqrt{\,2\,}
\\[3pt]~~~-\sqrt{\,2\,} &\lt& X \lt \sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、線分 \({\rm PQ}\) の中点 \({\rm R}\) は、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\) 上の \(-\sqrt{\,2\,} \lt x \lt \sqrt{\,2\,}\) の部分にある [終]
