数学C｜２次曲線

高校数学C「２次曲線」の基本例題35問を一覧で紹介。放物線・楕円・双曲線の方程式と概形、2次曲線の平行移動、2次曲線と直線、2次曲線と図形、曲線の媒介変数表示、極座標・極方程式の解法のPointと詳しい解説へのリンク付き。

極座標で表された２点を結ぶ線分の長さを求める方法を解説しています。２点と極を結んでできる三角形に注目し、偏角の差から頂角の大きさを求める手順を確認しています。２辺の長さとその間の角がわかることから、余弦定理を使って距離を求める流れを図とともに丁寧にまとめています。

極方程式の軌跡を求める方法を解説しています。円上の動く点を極座標でおき、余弦定理を使って長さと偏角の関係式をつくる手順を確認しています。中心と点の位置関係で場合分けをし、それぞれで同じ式が成り立つことを図とともに丁寧にまとめています。

２次曲線の極方程式を直交座標の方程式に直す方法を解説しています。離心率の値によって楕円、放物線、双曲線のどれになるかを確認したうえで、分母をはらい、両辺を２乗して置き換える手順を説明しています。３つの例について平方完成までの流れを丁寧にまとめています。

極を焦点、始線に垂直な直線を準線とする放物線の極方程式を求める方法を解説しています。放物線上の点を極座標でおき、準線に下ろした垂線の長さを偏角を使って表す手順を確認しています。焦点からの距離と準線までの距離が等しいという定義から式を導く流れを図とともにまとめています。

直交座標で表された曲線の方程式を極方程式に直す方法を解説しています。座標を長さと偏角を使った式に置き換え、三角比の相互関係や２倍角の公式で整理する手順を確認しています。円、双曲線、楕円となる３つの例について、変形の流れを丁寧にまとめています。

極方程式の表す曲線を直交座標の方程式に直す方法を解説しています。両辺に長さをかけて式を変形したり、２倍角の公式を使ったりして、置き換えができる形に整える手順を確認しています。円、双曲線、放物線となる４つの例について、変形の流れを丁寧にまとめています。

極座標で与えられた点を通り、原点とその点を結ぶ線分に垂直な直線の極方程式を求める方法を解説しています。直線上の任意の点を極座標でおき、直角三角形ができることに着目して、余弦を使った関係式から極方程式を導く手順を図とともに丁寧に説明しています。

極方程式がどのような図形を表すのかを解説しています。長さが一定の場合、偏角が一定の場合、始線に垂直な直線を表す場合、円を表す場合の４つの型について、それぞれ図をもとに図形の意味を確認しています。さらに直交座標に直して確かめる別解も合わせて説明しています。

直交座標で表された点を極座標に変換する方法を解説しています。原点から点までの長さを求める式と、偏角を決めるための余弦と正弦の値の使い方を確認し、指定された範囲の中で角を求める手順を説明しています。２つの点について、図と合わせて計算の流れを丁寧にまとめています。

極座標で表された点を平面上に図示する方法と、極座標を直交座標に変換する方法を解説しています。極、始線、偏角の意味を確認したうえで、点の位置を図に表す手順を説明しています。さらに、半径と偏角から座標を求める式を使い、それぞれの点について値を計算する流れを丁寧にまとめています。

媒介変数表示された曲線がどのような曲線を表すかを、詳しく解説しています。それぞれの式を三角関数について解き、三角関数の相互関係の公式に代入して方程式を求める手順と、平行移動としてとらえる考え方を確認できます。楕円と双曲線の両方のパターンを扱っています。

円・楕円・双曲線の媒介変数表示について詳しく解説しています。三角関数の相互関係の公式を利用して、それぞれの方程式を媒介変数を用いた形で表す手順を確認できます。一般形での表し方と具体的な方程式への当てはめまで、順を追って理解できる内容です。

放物線の媒介変数表示の求め方を詳しく解説しています。媒介変数を実数としておき、一般形の式に代入して整理することで、放物線を媒介変数で表す手順を確認できます。一般形での考え方から具体的な放物線への当てはめまで、順を追って理解できる内容です。

放物線の頂点の軌跡を、媒介変数表示を使って求める方法を詳しく解説しています。文字を係数にもつ放物線の式を平方完成して頂点の座標を求め、その座標を媒介変数で表してから媒介変数を消去することで、頂点が描く曲線を求める手順を確認できます。