- 数学C｜２次曲線「極方程式を直交座標の方程式に変換」の基本例題解説ページです。
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問題｜極方程式を直交座標の方程式に変換
２次曲線 30極方程式 \(r=2(\cos \theta-\sin \theta)~,~\)\(r^2\sin 2\theta=4~,~\)\(r^2\cos 2\theta=1~,~\)\(r\sin^2 \theta=4\cos \theta\) の表す曲線を、直交座標に関する方程式で表す方法は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
極方程式を直交座標の方程式に変換
Point：極方程式を直交座標の方程式に変換
① 極方程式を \(r^2~,~r\cos \theta~,~r\sin \theta\) を用いた式に変形する。
② \(r^2~,~r\cos \theta~,~r\sin \theta\) を \(x~,~y\) で表し、直交座標の方程式とする。
\(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}
r^2=x^2+y^2\\
r\cos \theta=x~,~r\sin \theta=y
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
極方程式を直交座標の方程式で表すとき、
① 極方程式を \(r^2~,~r\cos \theta~,~r\sin \theta\) を用いた式に変形する。
② \(r^2~,~r\cos \theta~,~r\sin \theta\) を \(x~,~y\) で表し、直交座標の方程式とする。
\(\begin{eqnarray} \left\{~\begin{array}{l}
r^2=x^2+y^2\\
r\cos \theta=x~,~r\sin \theta=y
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜極方程式を直交座標の方程式に変換
２次曲線 30極方程式 \(r=2(\cos \theta-\sin \theta)~,~\)\(r^2\sin 2\theta=4~,~\)\(r^2\cos 2\theta=1~,~\)\(r\sin^2 \theta=4\cos \theta\) の表す曲線を、直交座標に関する方程式で表す方法は？
高校数学C｜２次曲線
極方程式 \(r=2(\cos \theta-\sin \theta)\) について、
両辺に \(r\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2&=&2r(\cos \theta-\sin \theta)
\\[3pt]~~~r^2&=&2r\cos \theta-2r\sin \theta\end{eqnarray}\)
ここで、\(r^2=x^2+y^2~,~\)\(r\cos \theta=x~,~\)\(r\sin \theta=y\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&2x-2y
\\[3pt]~~~x^2-2x+y^2+2y&=&0
\\[3pt]~~~(x^2-2x+1)-1+(y^2+2y+1)-1&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2+(y+1)^2&=&2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2-2x+y^2+2y&=&0
\\[3pt]~~~(x^2-2x+1)-1+(y^2+2y+1)-1&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2+(y+1)^2&=&2\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、中心 \((1~,~-1)\) 、半径 \(\sqrt{\,2\,}\) の円となる
極方程式 \(r^2\sin 2\theta=4\) について、
\(2\) 倍角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2 \cdot 2\sin \theta\cos \theta&=&4
\\[3pt]~~~r\cos \theta \cdot r\sin \theta&=&2\end{eqnarray}\)
ここで、\(r\cos \theta=x~,~\)\(r\sin \theta=y\) より、
\(xy=2\)
したがって、双曲線 \(xy=2\) を表す
極方程式 \(r^2\cos 2\theta=1\) について、
\(2\) 倍角の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2(\cos^2 \theta-\sin^2 \theta)&=&1
\\[3pt]~~~(r\cos \theta)^2-(r\sin \theta)^2&=&1\end{eqnarray}\)
ここで、\(r\cos \theta=x~,~\)\(r\sin \theta=y\) より、
\(x^2-y^2=1\)
したがって、双曲線 \(x^2-y^2=1\) を表す
極方程式 \(r\sin^2 \theta=4\cos \theta\) について、
両辺に \(r\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2\sin^2 \theta&=&4r\cos \theta
\\[3pt]~~~(r\sin \theta)^2&=&4r\cos \theta\end{eqnarray}\)
ここで、\(r\cos \theta=x~,~\)\(r\sin \theta=y\) より、
\(y^2=4x\)
したがって、放物線 \(y^2=4x\) を表す
