- 数学C「２次曲線」の基本例題一覧ページです。
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放物線の方程式
01｜放物線の方程式と焦点・準線
２次曲線 01放物線 \(y^2=8x\) の焦点と準線、放物線の概形は？また、放物線 \(y=x^2\) の焦点と準線、放物線の概形は？
02｜放物線の方程式の決定
２次曲線 02焦点 \((-3~,~0)\) 、準線が直線 \(x=3\) の放物線の方程式の求め方は？また、焦点 \((0~,~-2)\) 、準線が直線 \(y=2\) の放物線の方程式の求め方は？
楕円の方程式
03｜楕円の方程式と概形
２次曲線 03楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の長軸の長さ、短軸の長さ、焦点、頂点、楕円の概形は？また、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\) では？
04｜楕円の方程式の決定
２次曲線 04\(2\) 点 \((\sqrt{\,5\,}~,~0)~,~\)\((-\sqrt{\,5\,}~,~0)\) を焦点、焦点からの距離の和が \(6\) である楕円の方程式の求め方は？
05｜円と楕円の関係
２次曲線 05円 \(x^2+y^2=9\) を \(x\) 軸をもとに \(y\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) 倍に縮小した曲線の求め方は？また、\(y\) 軸をもとに \(x\) 軸方向に \(2\) 倍に拡大した曲線の求め方は？
双曲線の方程式
06｜双曲線の方程式と概形
２次曲線 06双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の焦点、頂点、漸近線、双曲線の概形は？また、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=-1\) では？
07｜双曲線の方程式の決定
２次曲線 07\(2\) 点 \((\sqrt{\,13\,}~,~0)~,~\)\((-\sqrt{\,13\,}~,~0)\) を焦点、焦点からの距離の差が \(6\) である双曲線の方程式の求め方は？また、\(2\) 直線 \(y=2x~,~\)\(y=-2x\) を漸近線にもち、\(2\) 点 \((0~,~2\sqrt{\,5\,})~,~\)\((0~,~-2\sqrt{\,5\,})\) を焦点とする双曲線の方程式の求め方は？
08｜直角双曲線の方程式
２次曲線 08\(2\) 点 \((4~,~0)~,~\)\((-4~,~0)\) が焦点の直角双曲線の方程式は？また、\(2\) 点 \((0~,~3)~,~\)\((0~,~-3)\) が頂点の直角双曲線の方程式は？
2次曲線の平行移動
09｜平行移動した2次曲線の方程式
２次曲線 09曲線 \(y^2=8x~,~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1~,~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) をそれぞれ \(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) 平行移動した曲線の方程式と焦点の座標の求め方は？
10｜x,yの2次方程式と2次曲線
２次曲線 10方程式 \(9x^2+25y^2-18x+100y-116=0~,~\)\(9x^2-4y^2-18x-16y-43=0~,~\)\(y^2+4y-8x+12=0\) はどんな図形を表すか？また、グラフの概形は？
2次曲線と直線
11｜2次曲線と直線の共有点の座標
２次曲線 11楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) と直線 \(y=x-2\) の共有点の座標や放物線 \(y^2=4x\) と直線 \(y=x+1\) の共有点の座標の求め方は？
12｜2次曲線と直線の共有点の個数
２次曲線 12\(k\) を定数として、楕円 \(x^2+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) と直線 \(y=x+k\) の共有点の個数の調べ方は？
13｜曲線と直線との交点の中点の座標
２次曲線 13双曲線 \(x^2-y^2=1\) と直線 \(y=-2x+3\) の \(2\) つの交点の中点の座標の求め方は？
14｜曲線外の点から引いた接線の方程式
２次曲線 14点 \((0~,~3)\) から楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}+y^2=1\) に引いた接線の方程式の求め方は？また、点 \((0~,~2)\) から双曲線 \(x^2-y^2=1\) に引いた接線の方程式の求め方は？
15☆｜楕円・双曲線の接線の方程式
２次曲線 15☆楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,6\,}=1\) の上の点 \((\sqrt{\,3\,}~,~2)\) における接線の方程式の求め方は？また、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の上の点 \((4~,~3\sqrt{\,3\,})\) における接線の方程式の求め方は？
16☆｜放物線y²=4px上の接線の方程式
２次曲線 16☆放物線 \(y^2=8x\) 上の点 \((2~,~-4)\) における接線の方程式の求め方は？
2次曲線と図形
17｜2次曲線の軌跡
２次曲線 17長さ \(5\) の線分 \({\rm AB}\) の点 \({\rm A}\) は \(x\) 軸上を、点 \({\rm B}\) は \(y\) 軸上を動くとき、線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分する点 \({\rm P}\) の軌跡の求め方は？
18｜2次曲線と離心率
２次曲線 18点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離と \(y\) 軸からの距離の比が \(1:2\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の求め方は？また、距離の比が \(2:1\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の求め方は？
19☆｜2次曲線と図形の計量
２次曲線 19☆双曲線 \(x^2-y^2=1\) 上の点のうち、点 \((4~,~0)\) に最も近い点の座標とそのときの距離の求め方は？
20☆｜2次曲線の不等式と領域
２次曲線 20☆不等式 \(y^2 \lt 4x\) 、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,} \lt 1\) 、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}{\small ~≧~}1\) の表す領域の図示の方法は？
曲線の媒介変数表示
21｜媒介変数表示の曲線の概形
２次曲線 21\(x=\sqrt{\,t\,}~,~\)\(y=t+3\) で表される点 \({\rm P}(x~,~y)\) はどのような曲線を描くか？また、\(t\gt 0\) のときの \(x=t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}~,~\)\(y=t^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t^2\,}\) の曲線は？さらに、\(x=\cos \theta~,~\)\(y=\sin^2 \theta\) のときは？
22｜媒介変数表示の点の軌跡
２次曲線 22放物線 \(y=-x^2+2tx+2\) の頂点は \(t\) の値が変化するとき、どのような曲線を描くか？
23｜放物線の媒介変数表示
２次曲線 23放物線 \(y^2=8x\) の媒介変数 \(t\) を用いた表し方は？
24｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
２次曲線 24円 \(x^2+y^2=9\)、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\)、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) の媒介変数 \(\theta\) を用いた表し方は？
25｜媒介変数表示の曲線の平行移動
２次曲線 25媒介変数表示 \(x=2\cos \theta-1~,~\)\(y=3\sin \theta+2\) はどのような曲線を表すか？また、\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos \theta\,}+2~,~\)\(y=\tan \theta-3\) の曲線は？
極座標
26｜極座標の表し方と直交座標に変換
２次曲線 26極座標で表された点 \({\rm A}\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~,~\)\({\rm B}\left(4~,~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)~,~\)\({\rm C}\left(1~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)~,~\)\({\rm D}(3~,~-\pi)\) の図示の方法は？また、それぞれの極座標の直交座標の求め方は？
27｜直交座標の点を極座標に変換
２次曲線 27直交座標の点 \({\rm A}(1~,~\sqrt{\,3\,})~,~\)\({\rm B}(-2~,~-2)\) を極座標 \((r~,~\theta)\) での表し方は？(ただし、\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\))
極方程式
28｜極方程式の表す図形
２次曲線 28極方程式 \(r=2~,~\)\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\)\(r\cos \theta=2~,~\)\(r=2\cos \theta\) はどのような図形で表されるか？
29｜点を通る垂直な直線の極方程式
２次曲線 29極座標 \(\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) の点 \({\rm A}\) を通り、\({\rm OA}\) に垂直な直線 \(\ell\) の極方程式の求め方は？
30｜極方程式を直交座標の方程式に変換
２次曲線 30極方程式 \(r=2(\cos \theta-\sin \theta)~,~\)\(r^2\sin 2\theta=4~,~\)\(r^2\cos 2\theta=1~,~\)\(r\sin^2 \theta=4\cos \theta\) の表す曲線を、直交座標に関する方程式で表す方法は？
31｜直交座標の方程式を極方程式に変換
２次曲線 31曲線 \(x^2+y^2-4x=0~,~\)\(x^2-y^2=1~,~\)\(x^2+2y^2=2\) を極方程式で表す方法は？
32｜2次曲線の極方程式
２次曲線 32極座標 \((2~,~0)\) である点 \({\rm A}\) を通り、始線に垂直な直線を \(\ell\) とし、極 \({\rm O}\) を焦点、\(\ell\) を準線とする放物線の極方程式の求め方は？
33｜離心率と極方程式
２次曲線 33２次曲線の極方程式 \(r=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\cos \theta\,}~,~\)\(r=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1+2\cos \theta\,}~,~\)\(r=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2+\cos \theta\,}\) を直交座標に関する方程式で表す方法は？
34☆｜極方程式の軌跡
２次曲線 34☆中心が極座標 \({\rm C}\left(3~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) 、半径 \(2\) の円の極方程式を、円上の点 \({\rm P}(r~,~\theta)\) の軌跡として求める方法は？
35☆｜極座標を用いた図形の計量
２次曲線 35☆極座標で表された \(2\) 点 \({\rm A}\left(4~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~,~\)\({\rm B}\left(3~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の長さの求め方は？
