- 数学C｜２次曲線「双曲線の方程式と概形」の基本例題解説ページです。
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問題｜双曲線の方程式と概形
２次曲線 06双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の焦点、頂点、漸近線、双曲線の概形は？また、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=-1\) では？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
双曲線の方程式と概形
Point：双曲線の方程式と概形
\({\small [\,1\,]}\) \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) のとき、
\(c=\sqrt{\,a^2+b^2\,}\) とすると、
・焦点や頂点が \(x\) 軸上にあり、
・焦点 \((c~,~0)~,~\)\((-c~,~0)\)
・頂点 \((a~,~0)~,~\)\((-a~,~0)\)
・\(2\) つの焦点からの距離の差が \(2a\)
・漸近線は、\(y=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x~,~\)\(y=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\)
・双曲線は、\(x\) 軸、\(y\) 軸、原点に関して対称
\({\small [\,2\,]}\) \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=-1\) のとき、
\(c=\sqrt{\,a^2+b^2\,}\) とすると、
・焦点や頂点が \(y\) 軸上にあり、
・焦点 \((0~,~c)~,~\)\((0~,~-c)\)
・頂点 \((0~,~b)~,~\)\((0~,~-b)\)
・\(2\) つの焦点からの距離の差が \(2b\)
・漸近線は、\(y=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x~,~\)\(y=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\)
・双曲線は、\(x\) 軸、\(y\) 軸、原点に関して対称
双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=\pm 1\) は、\(2\) つの焦点からの距離の差が一定である点の軌跡である。
\({\small [\,1\,]}\) \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) のとき、
\(c=\sqrt{\,a^2+b^2\,}\) とすると、
・焦点や頂点が \(x\) 軸上にあり、
・焦点 \((c~,~0)~,~\)\((-c~,~0)\)
・頂点 \((a~,~0)~,~\)\((-a~,~0)\)
・\(2\) つの焦点からの距離の差が \(2a\)
・漸近線は、\(y=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x~,~\)\(y=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\)
・双曲線は、\(x\) 軸、\(y\) 軸、原点に関して対称
\({\small [\,2\,]}\) \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=-1\) のとき、
\(c=\sqrt{\,a^2+b^2\,}\) とすると、
・焦点や頂点が \(y\) 軸上にあり、
・焦点 \((0~,~c)~,~\)\((0~,~-c)\)
・頂点 \((0~,~b)~,~\)\((0~,~-b)\)
・\(2\) つの焦点からの距離の差が \(2b\)
・漸近線は、\(y=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x~,~\)\(y=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\)
・双曲線は、\(x\) 軸、\(y\) 軸、原点に関して対称
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詳しい解説｜双曲線の方程式と概形
２次曲線 06双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の焦点、頂点、漸近線、双曲線の概形は？また、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=-1\) では？
高校数学C｜２次曲線
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3^2\,}=1\)
これより、\(a=2~,~b=3\)
\(c=\sqrt{\,a^2+b^2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,2^2+3^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+9\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,13\,}\end{eqnarray}\)
右辺が \(1\) より、焦点や頂点が \(x\) 軸上にある
よって、焦点は、\((\sqrt{\,13\,}~,~0)~,~\)\((-\sqrt{\,13\,}~,~0)\)
頂点は、\((2~,~0)~,~\)\((-2~,~0)\)
漸近線は、\(y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x~,~\)\(y=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x\)
双曲線の概形は、
※ \(4\) 本の直線 \(x=2~,~\)\(x=-2~,~\)\(y=3~,~\)\(y=-3\) で囲まれた長方形を描き、その対角線が漸近線となり、\(x\) 軸との交点が頂点となる。
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=-1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3^2\,}=-1\)
これより、\(a=4~,~b=3\)
\(c=\sqrt{\,a^2+b^2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,4^2+3^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16+9\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,25\,}
\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
右辺が \(-1\) より、焦点や頂点が \(y\) 軸上にある
よって、焦点は、\((0~,~5)~,~\)\((0~,~-5)\)
頂点は、\((0~,~3)~,~\)\((0~,~-3)\)
漸近線は、\(y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x~,~\)\(y=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}x\)
双曲線の概形は、
※ \(4\) 本の直線 \(x=4~,~\)\(x=-4~,~\)\(y=3~,~\)\(y=-3\) で囲まれた長方形を描き、その対角線が漸近線となり、\(y\) 軸との交点が頂点となる。
