- 数学C｜２次曲線「2次曲線と図形の計量」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次曲線と図形の計量
２次曲線 19☆双曲線 \(x^2-y^2=1\) 上の点のうち、点 \((4~,~0)\) に最も近い点の座標とそのときの距離の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
2次曲線と図形の計量
Point：2次曲線と図形の計量2次曲線についての図形の計量は、
① 2次曲線上の点を \((x~,~y)\) とし、\(x\) の値の範囲を求めておく。
\(x^2-y^2=1\) より、\(y^2=x^2-1\)
また、\(y^2{\small ~≧~}0\) より、\(x{\small ~≦~}-1~,~1{\small ~≦~}x\)
② 求めたい長さや面積を \(x~,~y\) で表し、①の範囲内で最大値・最小値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~l&=&\sqrt{\,(x-4)^2+y^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(x-4)^2+x^2-1\,}\end{eqnarray}\)
① 2次曲線上の点を \((x~,~y)\) とし、\(x\) の値の範囲を求めておく。
\(x^2-y^2=1\) より、\(y^2=x^2-1\)
また、\(y^2{\small ~≧~}0\) より、\(x{\small ~≦~}-1~,~1{\small ~≦~}x\)
② 求めたい長さや面積を \(x~,~y\) で表し、①の範囲内で最大値・最小値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~l&=&\sqrt{\,(x-4)^2+y^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(x-4)^2+x^2-1\,}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜2次曲線と図形の計量
２次曲線 19☆双曲線 \(x^2-y^2=1\) 上の点のうち、点 \((4~,~0)\) に最も近い点の座標とそのときの距離の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
この双曲線上の点を \((x~,~y)\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-y^2&=&1
\\[3pt]~~~-y^2&=&1-x^2
\\[3pt]~~~y^2&=&x^2-1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(y^2{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-1&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~(x+1)(x-1)&{\small ~≧~}&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≦~}-1~,~1{\small ~≦~}x\)
点 \((x~,~y)\) と点 \((4~,~0)\) との距離を \(l\) とすると、
\(l=\sqrt{\,(x-4)^2+y^2\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~l&=&\sqrt{\,(x-4)^2+x^2-1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,x^2-8x+16+x^2-1\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2x^2-8x+15\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2(x^2-4x)+15\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2(x^2-4x+4-4)+15\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2(x^2-4x+4)-8+15\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2(x-2)^2+7\,}\end{eqnarray}\)
\(x=2\) は \(1{\small ~≦~}x\) を満たすので、\(l\) は \(x=2\) のとき最小値 \(\sqrt{\,7\,}\) をとる
ここで、\(x=2\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&x^2-1
\\[3pt]~~~y^2&=&4-1
\\[3pt]~~~y^2&=&3
\\[3pt]~~~y&=&\pm\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
点の座標が \((2~,~\sqrt{\,3\,})~,~(2~,~-\sqrt{\,3\,})\) 、
最短距離は \(\sqrt{\,7\,}\) となる
