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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01周の長さが \(3\) である \(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) とする。
\({\small (1)}~\)\({\rm AB}=k\) であるときの \(\triangle {\rm ABC}\) の面積の最大値 \(S(k)\) を求めよ。ただし、\(\triangle {\rm ABC}\) が存在するための条件から \(0 \lt k \lt \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) とする。
\({\small (2)}~\)\(S\) の最大値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm AB}=k\) であるときの \(\triangle {\rm ABC}\) の面積の最大値 \(S(k)\) を求めよ。ただし、\(\triangle {\rm ABC}\) が存在するための条件から \(0 \lt k \lt \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) とする。
\({\small (2)}~\)\(S\) の最大値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学C[709] p.128 問題 7
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\({\small (1)}~\)\({\rm AB}=k\) であるとき、
\({\rm CB}+{\rm CA}=3-k\)
よって、点 \({\rm C}\) は、\(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) を焦点とし、この \(2\) つの焦点までの距離の和が \(3-k\) である楕円上にある
直線 \({\rm AB}\) を \(x\) 軸、線分 \({\rm AB}\) の中点を原点とするように座標軸をとると、
\({\rm A}\left(-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}~,~0\right)~,~{\rm B}\left(\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}~,~0\right)\)
この楕円の方程式を \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1~(a\gt b\gt 0)\) とすると、
\(2\) つの焦点までの距離の和が \(2a\) となることより、
\(\begin{eqnarray}~~~2a&=&3-k
\\[5pt]~~~a&=&\displaystyle \frac{\,3-k\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
焦点の座標が \(\left(\pm\sqrt{\,a^2-b^2\,}~,~0\right)\) となることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,a^2-b^2\,}&=&\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~a^2-b^2&=&\displaystyle \frac{\,k^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~b^2&=&a^2-\displaystyle \frac{\,k^2\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(a=\displaystyle \frac{\,3-k\,}{\,2\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2&=&\left(\displaystyle \frac{\,3-k\,}{\,2\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,k^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9-6k+k^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,k^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9-6k\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(b\gt 0\) より、
\(b=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,9-6k\,}\,}{\,2\,}\)
点 \({\rm C}\) の \(y\) 座標を \(y\) として、底辺を \({\rm AB}\) とすると、
\(\triangle {\rm ABC}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot k \cdot |\, y \,|\)
点 \({\rm C}\) は楕円上にあるので、\(|\, y \,|\) が最大となるのは点 \({\rm C}\) が短軸の端点にあるときで、その最大値は \(b\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S(k)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot k \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,9-6k\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}k\sqrt{\,9-6k\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S(k)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}k\sqrt{\,9-6k\,}\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~S(k)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}k\sqrt{\,9-6k\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\sqrt{\,k^2(9-6k)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\sqrt{\,-6k^3+9k^2\,}\end{eqnarray}\)
平方根の中の \(f(k)=-6k^3+9k^2\) が最大となるとき、\(S(k)\) も最大となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(k)&=&-18k^2+18k
\\[3pt]~~~&=&-18k(k-1)\end{eqnarray}\)
\(0 \lt k \lt \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) における \(f(k)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
k & (0) & \cdots & 1 & \cdots & \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)\\
\hline
f^{\prime}(k) & & + & 0 & – & \\
\hline
f(k) & & \nearrow & 3 & \searrow &
\end{array}\)
よって、\(f(k)\) は \(k=1\) のとき最大となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&-6 \cdot 1^3+9 \cdot 1^2
\\[3pt]~~~&=&-6+9
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\(S(k)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\sqrt{\,f(k)\,}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\sqrt{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S\) の最大値は \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\) となる
\({\rm CB}+{\rm CA}=3-k\)
よって、点 \({\rm C}\) は、\(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) を焦点とし、この \(2\) つの焦点までの距離の和が \(3-k\) である楕円上にある
直線 \({\rm AB}\) を \(x\) 軸、線分 \({\rm AB}\) の中点を原点とするように座標軸をとると、
\({\rm A}\left(-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}~,~0\right)~,~{\rm B}\left(\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}~,~0\right)\)
この楕円の方程式を \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1~(a\gt b\gt 0)\) とすると、
\(2\) つの焦点までの距離の和が \(2a\) となることより、
\(\begin{eqnarray}~~~2a&=&3-k
\\[5pt]~~~a&=&\displaystyle \frac{\,3-k\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
焦点の座標が \(\left(\pm\sqrt{\,a^2-b^2\,}~,~0\right)\) となることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,a^2-b^2\,}&=&\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~a^2-b^2&=&\displaystyle \frac{\,k^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~b^2&=&a^2-\displaystyle \frac{\,k^2\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(a=\displaystyle \frac{\,3-k\,}{\,2\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2&=&\left(\displaystyle \frac{\,3-k\,}{\,2\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,k^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9-6k+k^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,k^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9-6k\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(b\gt 0\) より、
\(b=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,9-6k\,}\,}{\,2\,}\)
点 \({\rm C}\) の \(y\) 座標を \(y\) として、底辺を \({\rm AB}\) とすると、
\(\triangle {\rm ABC}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot k \cdot |\, y \,|\)
点 \({\rm C}\) は楕円上にあるので、\(|\, y \,|\) が最大となるのは点 \({\rm C}\) が短軸の端点にあるときで、その最大値は \(b\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S(k)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot k \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,9-6k\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}k\sqrt{\,9-6k\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S(k)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}k\sqrt{\,9-6k\,}\) となる
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}~\) より、\(k\gt 0\) で \(k=\sqrt{\,k^2\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~S(k)&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}k\sqrt{\,9-6k\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\sqrt{\,k^2(9-6k)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\sqrt{\,-6k^3+9k^2\,}\end{eqnarray}\)
平方根の中の \(f(k)=-6k^3+9k^2\) が最大となるとき、\(S(k)\) も最大となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f^{\prime}(k)&=&-18k^2+18k
\\[3pt]~~~&=&-18k(k-1)\end{eqnarray}\)
\(0 \lt k \lt \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) における \(f(k)\) の増減表は、
\(\begin{array}{c|ccccc}
k & (0) & \cdots & 1 & \cdots & \left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)\\
\hline
f^{\prime}(k) & & + & 0 & – & \\
\hline
f(k) & & \nearrow & 3 & \searrow &
\end{array}\)
よって、\(f(k)\) は \(k=1\) のとき最大となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~f(1)&=&-6 \cdot 1^3+9 \cdot 1^2
\\[3pt]~~~&=&-6+9
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\(S(k)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\sqrt{\,f(k)\,}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\sqrt{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(S\) の最大値は \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,4\,}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}=1\) の \(1\) つの焦点 \((3~,~0)\) を \({\rm F}\) とする。この双曲線上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) から直線 \(x=2\) に下ろした垂線を \({\rm PH}\) とするとき、\(\displaystyle \frac{\,{\rm PF}\,}{\,{\rm PH}\,}\) の値は一定であることを示せ。また、その値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学C[709] p.150 章末問題B 8
数研出版｜新編数学C[710] p.143 章末問題B 8
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[証明] 点 \({\rm P}(x~,~y)\) は双曲線上にあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}&=&1
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}&=&1-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~y^2&=&-3+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~y^2&=&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}-3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(y^2{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}-3&{\small ~≧~}&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}&{\small ~≧~}&3
\\[5pt]~~~x^2&{\small ~≧~}&6\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≦~}-\sqrt{\,6\,}~,~\sqrt{\,6\,}{\small ~≦~}x\)
ここで、\(\sqrt{\,6\,}\gt 2\) より、点 \({\rm P}\) の \(x\) 座標が \(2\) になることはないので、
\(|\, x-2 \,|\gt 0\)
点 \({\rm P}(x~,~y)\) と焦点 \({\rm F}(3~,~0)\) との距離は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-3)^2+y^2\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&\sqrt{\,(x-3)^2+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,x^2-6x+9+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2-6x+6\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}(x^2-4x+4)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}(x-2)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,} \cdot \sqrt{\,(x-2)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}|\, x-2 \,|\end{eqnarray}\)
また、\({\rm PH}\) は点 \({\rm P}(x~,~y)\) と直線 \(x=2\) との距離となるので、
\({\rm PH}=|\, x-2 \,|\)
\(|\, x-2 \,|\gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{\rm PF}\,}{\,{\rm PH}\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}|\, x-2 \,|\,}{\,|\, x-2 \,|\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm PF}\,}{\,{\rm PH}\,}\) の値は一定で、その値は \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\) となる [終]
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,6\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}&=&1
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}&=&1-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~y^2&=&-3+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~y^2&=&\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}-3~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(y^2{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}-3&{\small ~≧~}&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}&{\small ~≧~}&3
\\[5pt]~~~x^2&{\small ~≧~}&6\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≦~}-\sqrt{\,6\,}~,~\sqrt{\,6\,}{\small ~≦~}x\)
ここで、\(\sqrt{\,6\,}\gt 2\) より、点 \({\rm P}\) の \(x\) 座標が \(2\) になることはないので、
\(|\, x-2 \,|\gt 0\)
点 \({\rm P}(x~,~y)\) と焦点 \({\rm F}(3~,~0)\) との距離は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-3)^2+y^2\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&\sqrt{\,(x-3)^2+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,x^2-6x+9+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2-6x+6\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}(x^2-4x+4)\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}(x-2)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,} \cdot \sqrt{\,(x-2)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}|\, x-2 \,|\end{eqnarray}\)
また、\({\rm PH}\) は点 \({\rm P}(x~,~y)\) と直線 \(x=2\) との距離となるので、
\({\rm PH}=|\, x-2 \,|\)
\(|\, x-2 \,|\gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{\rm PF}\,}{\,{\rm PH}\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}|\, x-2 \,|\,}{\,|\, x-2 \,|\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm PF}\,}{\,{\rm PH}\,}\) の値は一定で、その値は \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\) となる [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03双曲線 \(x^2-4y^2=4\) 上の点で点 \((5~,~0)\) に最も近い点の座標と、そのときの距離を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.115 練習問題B 8
東京書籍｜Standard数学C[702] p.110 Level Up 6
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この双曲線上の点を \((x~,~y)\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4y^2&=&4
\\[3pt]~~~-4y^2&=&4-x^2
\\[3pt]~~~4y^2&=&x^2-4
\\[5pt]~~~y^2&=&\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,4\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(y^2{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,4\,}&{\small ~≧~}&0
\\[5pt]~~~x^2-4&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~(x+2)(x-2)&{\small ~≧~}&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≦~}-2~,~2{\small ~≦~}x\)
点 \((x~,~y)\) と点 \((5~,~0)\) との距離を \(l\) とすると、
\(l=\sqrt{\,(x-5)^2+y^2\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~l&=&\sqrt{\,(x-5)^2+\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,x^2-10x+25+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}x^2-10x+24\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}(x^2-8x)+24\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}(x^2-8x+16-16)+24\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}(x^2-8x+16)-20+24\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}(x-4)^2+4\,}\end{eqnarray}\)
\(x=4\) は \(2{\small ~≦~}x\) を満たすので、\(l\) は \(x=4\) のとき最小値 \(2\) をとる
ここで、\(x=4\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~y^2&=&\displaystyle \frac{\,16-4\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~y^2&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~y^2&=&3
\\[3pt]~~~y&=&\pm\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
点の座標が \((4~,~\sqrt{\,3\,})~,~(4~,~-\sqrt{\,3\,})\) 、
最短距離は \(2\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4y^2&=&4
\\[3pt]~~~-4y^2&=&4-x^2
\\[3pt]~~~4y^2&=&x^2-4
\\[5pt]~~~y^2&=&\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,4\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(y^2{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,4\,}&{\small ~≧~}&0
\\[5pt]~~~x^2-4&{\small ~≧~}&0
\\[3pt]~~~(x+2)(x-2)&{\small ~≧~}&0\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≦~}-2~,~2{\small ~≦~}x\)
点 \((x~,~y)\) と点 \((5~,~0)\) との距離を \(l\) とすると、
\(l=\sqrt{\,(x-5)^2+y^2\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~l&=&\sqrt{\,(x-5)^2+\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,4\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,x^2-10x+25+\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-1\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}x^2-10x+24\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}(x^2-8x)+24\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}(x^2-8x+16-16)+24\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}(x^2-8x+16)-20+24\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}(x-4)^2+4\,}\end{eqnarray}\)
\(x=4\) は \(2{\small ~≦~}x\) を満たすので、\(l\) は \(x=4\) のとき最小値 \(2\) をとる
ここで、\(x=4\) のとき、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~y^2&=&\displaystyle \frac{\,16-4\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~y^2&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~y^2&=&3
\\[3pt]~~~y&=&\pm\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
点の座標が \((4~,~\sqrt{\,3\,})~,~(4~,~-\sqrt{\,3\,})\) 、
最短距離は \(2\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) の短軸の両端を \({\rm A}(0~,~b)~,~{\rm B}(0~,~-b)\) とする。次の図のように、楕円上に \({\rm A}~,~{\rm B}\) と異なる点 \({\rm P}(x_1~,~y_1)\) をとり、\(2\) 直線 \({\rm AP}~,~{\rm BP}\) が長軸またはその延長と交わる点をそれぞれ \({\rm Q}~,~{\rm R}\) とするとき、\({\rm OQ} \cdot {\rm OR}\) は一定であることを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.115 練習問題B 9
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[証明] 点 \({\rm P}(x_1~,~y_1)\) は楕円上にあるので、
\(\displaystyle \frac{\,{x_1}^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,{y_1}^2\,}{\,b^2\,}=1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、点 \({\rm P}\) は \({\rm A}~,~{\rm B}\) と異なる楕円上の点なので、\(x_1\) は \(0\) ではなく、\(-b \lt y_1 \lt b\) となる
直線 \({\rm AP}\) は \(2\) 点 \({\rm A}(0~,~b)~,~{\rm P}(x_1~,~y_1)\) を通るので、
\(y=\displaystyle \frac{\,y_1-b\,}{\,x_1\,}x+b\)
点 \({\rm Q}\) は直線 \({\rm AP}\) と \(x\) 軸との交点なので、\(y=0\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y_1-b\,}{\,x_1\,}x+b&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,y_1-b\,}{\,x_1\,}x&=&-b
\\[5pt]~~~x&=&-b \cdot \displaystyle \frac{\,x_1\,}{\,y_1-b\,}
\\[5pt]~~~x&=&-\displaystyle \frac{\,bx_1\,}{\,y_1-b\,}\end{eqnarray}\)
よって、\({\rm Q}\left(-\displaystyle \frac{\,bx_1\,}{\,y_1-b\,}~,~0\right)\)
直線 \({\rm BP}\) は \(2\) 点 \({\rm B}(0~,~-b)~,~{\rm P}(x_1~,~y_1)\) を通るので、
\(y=\displaystyle \frac{\,y_1+b\,}{\,x_1\,}x-b\)
点 \({\rm R}\) は直線 \({\rm BP}\) と \(x\) 軸との交点なので、\(y=0\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y_1+b\,}{\,x_1\,}x-b&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,y_1+b\,}{\,x_1\,}x&=&b
\\[5pt]~~~x&=&b \cdot \displaystyle \frac{\,x_1\,}{\,y_1+b\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,bx_1\,}{\,y_1+b\,}\end{eqnarray}\)
よって、\({\rm R}\left(\displaystyle \frac{\,bx_1\,}{\,y_1+b\,}~,~0\right)\)
\(-b \lt y_1 \lt b\) より、\(b-y_1\gt0~,~y_1+b\gt0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OQ}&=&\left|\,-\displaystyle \frac{\,bx_1\,}{\,y_1-b\,}\,\right|
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b|\, x_1 \,|\,}{\,b-y_1\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OR}&=&\left|\,\displaystyle \frac{\,bx_1\,}{\,y_1+b\,}\,\right|
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b|\, x_1 \,|\,}{\,y_1+b\,}\end{eqnarray}\)
この \(2\) つの積を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OQ} \cdot {\rm OR}&=&\displaystyle \frac{\,b|\, x_1 \,|\,}{\,b-y_1\,} \cdot \displaystyle \frac{\,b|\, x_1 \,|\,}{\,y_1+b\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b^2{x_1}^2\,}{\,(b-y_1)(b+y_1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b^2{x_1}^2\,}{\,b^2-{y_1}^2\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{x_1}^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,{y_1}^2\,}{\,b^2\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{y_1}^2\,}{\,b^2\,}&=&1-\displaystyle \frac{\,{x_1}^2\,}{\,a^2\,}
\\[5pt]~~~{y_1}^2&=&b^2-\displaystyle \frac{\,b^2{x_1}^2\,}{\,a^2\,}
\\[5pt]~~~b^2-{y_1}^2&=&\displaystyle \frac{\,b^2{x_1}^2\,}{\,a^2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OQ} \cdot {\rm OR}&=&\displaystyle \frac{\,b^2{x_1}^2\,}{\,\displaystyle \frac{\,b^2{x_1}^2\,}{\,a^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&b^2{x_1}^2 \cdot \displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,b^2{x_1}^2\,}
\\[5pt]~~~&=&a^2\end{eqnarray}\)
したがって、
\({\rm OQ} \cdot {\rm OR}=a^2\) となり、一定である [終]
\(\displaystyle \frac{\,{x_1}^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,{y_1}^2\,}{\,b^2\,}=1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、点 \({\rm P}\) は \({\rm A}~,~{\rm B}\) と異なる楕円上の点なので、\(x_1\) は \(0\) ではなく、\(-b \lt y_1 \lt b\) となる
直線 \({\rm AP}\) は \(2\) 点 \({\rm A}(0~,~b)~,~{\rm P}(x_1~,~y_1)\) を通るので、
\(y=\displaystyle \frac{\,y_1-b\,}{\,x_1\,}x+b\)
点 \({\rm Q}\) は直線 \({\rm AP}\) と \(x\) 軸との交点なので、\(y=0\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y_1-b\,}{\,x_1\,}x+b&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,y_1-b\,}{\,x_1\,}x&=&-b
\\[5pt]~~~x&=&-b \cdot \displaystyle \frac{\,x_1\,}{\,y_1-b\,}
\\[5pt]~~~x&=&-\displaystyle \frac{\,bx_1\,}{\,y_1-b\,}\end{eqnarray}\)
よって、\({\rm Q}\left(-\displaystyle \frac{\,bx_1\,}{\,y_1-b\,}~,~0\right)\)
直線 \({\rm BP}\) は \(2\) 点 \({\rm B}(0~,~-b)~,~{\rm P}(x_1~,~y_1)\) を通るので、
\(y=\displaystyle \frac{\,y_1+b\,}{\,x_1\,}x-b\)
点 \({\rm R}\) は直線 \({\rm BP}\) と \(x\) 軸との交点なので、\(y=0\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y_1+b\,}{\,x_1\,}x-b&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,y_1+b\,}{\,x_1\,}x&=&b
\\[5pt]~~~x&=&b \cdot \displaystyle \frac{\,x_1\,}{\,y_1+b\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,bx_1\,}{\,y_1+b\,}\end{eqnarray}\)
よって、\({\rm R}\left(\displaystyle \frac{\,bx_1\,}{\,y_1+b\,}~,~0\right)\)
\(-b \lt y_1 \lt b\) より、\(b-y_1\gt0~,~y_1+b\gt0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OQ}&=&\left|\,-\displaystyle \frac{\,bx_1\,}{\,y_1-b\,}\,\right|
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b|\, x_1 \,|\,}{\,b-y_1\,}\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OR}&=&\left|\,\displaystyle \frac{\,bx_1\,}{\,y_1+b\,}\,\right|
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b|\, x_1 \,|\,}{\,y_1+b\,}\end{eqnarray}\)
この \(2\) つの積を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OQ} \cdot {\rm OR}&=&\displaystyle \frac{\,b|\, x_1 \,|\,}{\,b-y_1\,} \cdot \displaystyle \frac{\,b|\, x_1 \,|\,}{\,y_1+b\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b^2{x_1}^2\,}{\,(b-y_1)(b+y_1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,b^2{x_1}^2\,}{\,b^2-{y_1}^2\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{x_1}^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,{y_1}^2\,}{\,b^2\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{y_1}^2\,}{\,b^2\,}&=&1-\displaystyle \frac{\,{x_1}^2\,}{\,a^2\,}
\\[5pt]~~~{y_1}^2&=&b^2-\displaystyle \frac{\,b^2{x_1}^2\,}{\,a^2\,}
\\[5pt]~~~b^2-{y_1}^2&=&\displaystyle \frac{\,b^2{x_1}^2\,}{\,a^2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OQ} \cdot {\rm OR}&=&\displaystyle \frac{\,b^2{x_1}^2\,}{\,\displaystyle \frac{\,b^2{x_1}^2\,}{\,a^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&b^2{x_1}^2 \cdot \displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,b^2{x_1}^2\,}
\\[5pt]~~~&=&a^2\end{eqnarray}\)
したがって、
\({\rm OQ} \cdot {\rm OR}=a^2\) となり、一定である [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,16\,}=1\) の \(2\) つの焦点のうち、\(x\) 座標が正であるものを \({\rm F}\) とする。この楕円上の点 \({\rm P}(p~,~q)\) と \({\rm F}\) との距離 \({\rm FP}\) を、\(p\) の \(1\) 次式で表せ。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.115 練習問題B 10
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\(25\gt16\) より、この楕円の焦点は \(x\) 軸上にあり、その座標は \(\left(\pm\sqrt{\,25-16\,}~,~0\right)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,25-16\,}&=&\sqrt{\,9\,}
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
よって、\(x\) 座標が正である焦点は \({\rm F}(3~,~0)\)
点 \({\rm P}(p~,~q)\) は楕円上にあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,q^2\,}{\,16\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,q^2\,}{\,16\,}&=&1-\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~q^2&=&16-\displaystyle \frac{\,16p^2\,}{\,25\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(q^2{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~16-\displaystyle \frac{\,16p^2\,}{\,25\,}&{\small ~≧~}&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,16p^2\,}{\,25\,}&{\small ~≦~}&16
\\[5pt]~~~p^2&{\small ~≦~}&25\end{eqnarray}\)
よって、\(-5{\small ~≦~}p{\small ~≦~}5\)
点 \({\rm P}(p~,~q)\) と点 \({\rm F}(3~,~0)\) との距離は、
\({\rm FP}=\sqrt{\,(p-3)^2+q^2\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm FP}&=&\sqrt{\,(p-3)^2+16-\displaystyle \frac{\,16p^2\,}{\,25\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,p^2-6p+9+16-\displaystyle \frac{\,16p^2\,}{\,25\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,25p^2\,}{\,25\,}-\displaystyle \frac{\,16p^2\,}{\,25\,}-6p+25\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9p^2\,}{\,25\,}-6p+25\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p\right)^2-2 \cdot \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p \cdot 5+5^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p-5\right)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\left|\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p-5\,\right|\end{eqnarray}\)
ここで、\(-5{\small ~≦~}p{\small ~≦~}5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-5&{\small ~≦~}&p{\small ~≦~}5
\\[5pt]~~~-3&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p{\small ~≦~}3
\\[5pt]~~~-8&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p-5{\small ~≦~}-2\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p-5\lt0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm FP}&=&-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p-5\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p+5\end{eqnarray}\)
したがって、
\({\rm FP}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p+5\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,25-16\,}&=&\sqrt{\,9\,}
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
よって、\(x\) 座標が正である焦点は \({\rm F}(3~,~0)\)
点 \({\rm P}(p~,~q)\) は楕円上にあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,q^2\,}{\,16\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,q^2\,}{\,16\,}&=&1-\displaystyle \frac{\,p^2\,}{\,25\,}
\\[5pt]~~~q^2&=&16-\displaystyle \frac{\,16p^2\,}{\,25\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(q^2{\small ~≧~}0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~16-\displaystyle \frac{\,16p^2\,}{\,25\,}&{\small ~≧~}&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,16p^2\,}{\,25\,}&{\small ~≦~}&16
\\[5pt]~~~p^2&{\small ~≦~}&25\end{eqnarray}\)
よって、\(-5{\small ~≦~}p{\small ~≦~}5\)
点 \({\rm P}(p~,~q)\) と点 \({\rm F}(3~,~0)\) との距離は、
\({\rm FP}=\sqrt{\,(p-3)^2+q^2\,}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm FP}&=&\sqrt{\,(p-3)^2+16-\displaystyle \frac{\,16p^2\,}{\,25\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,p^2-6p+9+16-\displaystyle \frac{\,16p^2\,}{\,25\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,25p^2\,}{\,25\,}-\displaystyle \frac{\,16p^2\,}{\,25\,}-6p+25\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,9p^2\,}{\,25\,}-6p+25\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p\right)^2-2 \cdot \displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p \cdot 5+5^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p-5\right)^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\left|\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p-5\,\right|\end{eqnarray}\)
ここで、\(-5{\small ~≦~}p{\small ~≦~}5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-5&{\small ~≦~}&p{\small ~≦~}5
\\[5pt]~~~-3&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p{\small ~≦~}3
\\[5pt]~~~-8&{\small ~≦~}&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p-5{\small ~≦~}-2\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p-5\lt0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm FP}&=&-\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p-5\right)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p+5\end{eqnarray}\)
したがって、
\({\rm FP}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}p+5\) となる
