- 数学C｜２次曲線「極座標を用いた図形の計量」の基本例題解説ページです。
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問題｜極座標を用いた図形の計量
２次曲線 35☆極座標で表された \(2\) 点 \({\rm A}\left(4~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~,~\)\({\rm B}\left(3~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の長さの求め方は？
高校数学C｜２次曲線
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極座標を用いた図形の計量
解法のPoint
極座標を用いた図形の計量
Point：極座標を用いた図形の計量極座標で表された \(2\) 点間の距離は、
① \(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) と極 \({\rm O}\) を結ぶ \(\triangle {\rm OAB}\) において、\(\angle {\rm BOA}\) の大きさを求める。
\(\angle {\rm BOA}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
② 余弦定理より、線分 \({\rm AB}\) の長さを求める。
\({\rm AB}^2=3^2+4^2-2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
これより、\({\rm AB}=\sqrt{\,13\,}\)
① \(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) と極 \({\rm O}\) を結ぶ \(\triangle {\rm OAB}\) において、\(\angle {\rm BOA}\) の大きさを求める。
\(\angle {\rm BOA}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
② 余弦定理より、線分 \({\rm AB}\) の長さを求める。
\({\rm AB}^2=3^2+4^2-2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
これより、\({\rm AB}=\sqrt{\,13\,}\)
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詳しい解説｜極座標を用いた図形の計量
２次曲線 35☆極座標で表された \(2\) 点 \({\rm A}\left(4~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~,~\)\({\rm B}\left(3~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の長さの求め方は？
高校数学C｜２次曲線
\(2\) 点 \({\rm A}\left(4~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~,~\)\({\rm B}\left(3~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) と極 \({\rm O}\) について、
\(\angle {\rm BOA}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,3\pi-\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\triangle {\rm OAB}\) について余弦定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&3^2+4^2-2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&9+16-24 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&25-12
\\[5pt]~~~&=&13\end{eqnarray}\)
\({\rm AB} \gt 0\) より、
\({\rm AB}=\sqrt{\,13\,}\)
したがって、線分 \({\rm AB}\) の長さは \(\sqrt{\,13\,}\) となる
