- 数学C｜２次曲線「極方程式の軌跡」の基本例題解説ページです。
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問題｜極方程式の軌跡
２次曲線 34☆中心が極座標 \({\rm C}\left(3~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) 、半径 \(2\) の円の極方程式を、円上の点 \({\rm P}(r~,~\theta)\) の軌跡として求める方法は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
極方程式の軌跡
Point：極方程式の軌跡極方程式の軌跡の求め方は、
① 動く点 \({\rm P}\) を極座標 \((r~,~\theta)\) でおく。
② 条件より、\(r\) と \(\theta\) の式をつくる。
三角形の余弦定理などを用いて式を立てる。
③ 逆に、この式が条件を満たすことを確認し、極方程式の軌跡を求める。
① 動く点 \({\rm P}\) を極座標 \((r~,~\theta)\) でおく。
② 条件より、\(r\) と \(\theta\) の式をつくる。
三角形の余弦定理などを用いて式を立てる。
③ 逆に、この式が条件を満たすことを確認し、極方程式の軌跡を求める。
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詳しい解説｜極方程式の軌跡
２次曲線 34☆中心が極座標 \({\rm C}\left(3~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) 、半径 \(2\) の円の極方程式を、円上の点 \({\rm P}(r~,~\theta)\) の軌跡として求める方法は？
高校数学C｜２次曲線
円上の点を \({\rm P}(r~,~\theta)\) とすると、\({\rm OP}=r~,~\)\({\rm OC}=3~,~\)\({\rm CP}=2\) となるので、
\({\small [\,1\,]}~\theta \gt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) のとき、
\(\angle {\rm POC}=\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) となるので、
\(\triangle {\rm POC}\) の余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~2^2&=&r^2+3^2-2 \cdot r \cdot 3 \cdot \cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~4&=&r^2+9-6r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~-r^2&=&-6r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)+5
\\[5pt]~~~r^2&=&6r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)-5\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}~\theta \lt \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) のとき、
\(\angle {\rm COP}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\theta\) となるので、
\(\triangle {\rm COP}\) の余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~2^2&=&3^2+r^2-2 \cdot 3 \cdot r \cdot \cos \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\theta\right)
\\[5pt]~~~4&=&9+r^2-6r\cos \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\theta\right)
\\[5pt]~~~r^2&=&6r\cos \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\theta\right)-5\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\theta\right)&=&\cos \left\{\,-\left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\end{eqnarray}\)
これより、
\(r^2=6r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)-5\)
\({\small [\,3\,]}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) のとき、
点 \({\rm P}\) は半直線 \({\rm OC}\) 上にあるので、
\({\rm OP}=3-2=1\) または \({\rm OP}=3+2=5\)
これより、\(r=1~,~5\) となる
ここで、\(r^2=6r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)-5\) に \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2&=&6r\cos 0-5
\\[3pt]~~~r^2-6r+5&=&0
\\[3pt]~~~(r-1)(r-5)&=&0
\\[3pt]~~~r&=&1~,~5\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,3\,]}\) のときも極方程式は成り立つ
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) より、
\(r^2=6r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)-5\)
逆に、この極方程式を満たす点は条件を満たす
したがって、極方程式は \(r^2=6r\cos \left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)-5\) となる
