- 数学C｜２次曲線「離心率と極方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜離心率と極方程式
２次曲線 33２次曲線の極方程式 \(r=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\cos \theta\,}~,~\)\(r=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1+2\cos \theta\,}~,~\)\(r=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2+\cos \theta\,}\) を直交座標に関する方程式で表す方法は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
離心率と極方程式
Point：離心率と極方程式
\(r=\displaystyle \frac{\,ea\,}{\,1+e\cos \theta\,}\)
について、
\(\small [\,1\,]\) \(0 \lt e \lt 1\) のとき
極 \({\rm O}\) を焦点の \(1\) つとする楕円
\(\small [\,2\,]\) \(e=1\) のとき
極 \({\rm O}\) を焦点、\(\ell\) を準線とする放物線
\(\small [\,3\,]\) \(e \gt 1\) のとき
極 \({\rm O}\) を焦点の \(1\) つとする双曲線
２次曲線の極方程式
\(r=\displaystyle \frac{\,ea\,}{\,1+e\cos \theta\,}\)
について、
\(\small [\,1\,]\) \(0 \lt e \lt 1\) のとき
極 \({\rm O}\) を焦点の \(1\) つとする楕円
\(\small [\,2\,]\) \(e=1\) のとき
極 \({\rm O}\) を焦点、\(\ell\) を準線とする放物線
\(\small [\,3\,]\) \(e \gt 1\) のとき
極 \({\rm O}\) を焦点の \(1\) つとする双曲線
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詳しい解説｜離心率と極方程式
２次曲線 33２次曲線の極方程式 \(r=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\cos \theta\,}~,~\)\(r=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1+2\cos \theta\,}~,~\)\(r=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2+\cos \theta\,}\) を直交座標に関する方程式で表す方法は？
高校数学C｜２次曲線
極方程式 \(r=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\cos \theta\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~r(1+\cos \theta)&=&2
\\[3pt]~~~r+r\cos \theta&=&2
\\[3pt]~~~r&=&2-r\cos \theta\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(r^2=(2-r\cos \theta)^2\)
ここで、\(r^2=x^2+y^2~,~\)\(r\cos \theta=x\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&(2-x)^2
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&4-4x+x^2
\\[3pt]~~~y^2&=&-4(x-1)\end{eqnarray}\)
したがって、放物線 \(y^2=-4(x-1)\) となる
極方程式 \(r=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,1+2\cos \theta\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~r(1+2\cos \theta)&=&4
\\[3pt]~~~r+2r\cos \theta&=&4
\\[3pt]~~~r&=&4-2r\cos \theta
\\[3pt]~~~r&=&2(2-r\cos \theta)\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~r^2&=&2^2(2-r\cos \theta)^2
\\[3pt]~~~r^2&=&4(2-r\cos \theta)^2\end{eqnarray}\)
ここで、\(r^2=x^2+y^2~,~\)\(r\cos \theta=x\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&4(2-x)^2
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&4(4-4x+x^2)
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&16-16x+4x^2
\\[3pt]~~~-3x^2+16x-16+y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-16x+16-y^2&=&0
\\[5pt]~~~3\left(x^2-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}x+\displaystyle \frac{\,64\,}{\,9\,}\right)-\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}+16-y^2&=&0
\\[5pt]~~~3\left(x-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)^2-y^2&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&4(4-4x+x^2)
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&16-16x+4x^2
\\[3pt]~~~-3x^2+16x-16+y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-16x+16-y^2&=&0
\\[5pt]~~~3\left(x^2-\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}x+\displaystyle \frac{\,64\,}{\,9\,}\right)-\displaystyle \frac{\,64\,}{\,3\,}+16-y^2&=&0
\\[5pt]~~~3\left(x-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)^2-y^2&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺に \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,16\,}\) をかけると、
\(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}\left(x-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,16\,}y^2=1\)
したがって、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}\left(x-\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,16\,}y^2=1\) となる
極方程式 \(r=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,2+\cos \theta\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~r(2+\cos \theta)&=&2
\\[3pt]~~~2r+r\cos \theta&=&2
\\[3pt]~~~2r&=&2-r\cos \theta\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2r)^2&=&(2-r\cos \theta)^2
\\[3pt]~~~4r^2&=&(2-r\cos \theta)^2\end{eqnarray}\)
ここで、\(r^2=x^2+y^2~,~\)\(r\cos \theta=x\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~4(x^2+y^2)&=&(2-x)^2
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2&=&4-4x+x^2
\\[3pt]~~~3x^2+4x-4+4y^2&=&0
\\[5pt]~~~3\left(x^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\right)-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}-4+4y^2&=&0
\\[5pt]~~~3\left(x+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2+4y^2&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2&=&4-4x+x^2
\\[3pt]~~~3x^2+4x-4+4y^2&=&0
\\[5pt]~~~3\left(x^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}x+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\right)-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}-4+4y^2&=&0
\\[5pt]~~~3\left(x+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2+4y^2&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺に \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,16\,}\) をかけると、
\(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}\left(x+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}y^2=1\)
したがって、楕円 \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,16\,}\left(x+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}y^2=1\) となる
