- 数学C｜２次曲線「2次曲線の極方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次曲線の極方程式
２次曲線 32極座標 \((2~,~0)\) である点 \({\rm A}\) を通り、始線に垂直な直線を \(\ell\) とし、極 \({\rm O}\) を焦点、\(\ell\) を準線とする放物線の極方程式の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
2次曲線の極方程式
Point：2次曲線の極方程式
① 放物線上の点を \({\rm P}(r~,~\theta)\) とし、点 \({\rm P}\) から準線 \(\ell\) に下ろした垂線を \({\rm PH}\) とする。
② 放物線の定義 \({\rm OP}={\rm PH}\) より、極方程式を求める。
放物線の定義を用いた極方程式の求め方は、
① 放物線上の点を \({\rm P}(r~,~\theta)\) とし、点 \({\rm P}\) から準線 \(\ell\) に下ろした垂線を \({\rm PH}\) とする。
② 放物線の定義 \({\rm OP}={\rm PH}\) より、極方程式を求める。
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詳しい解説｜2次曲線の極方程式
２次曲線 32極座標 \((2~,~0)\) である点 \({\rm A}\) を通り、始線に垂直な直線を \(\ell\) とし、極 \({\rm O}\) を焦点、\(\ell\) を準線とする放物線の極方程式の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
この放物線上の点を \({\rm P}(r~,~\theta)\) とし、点 \({\rm P}\) から準線 \(\ell\) に下ろした垂線を \({\rm PH}\) とする
ここで、\({\rm OP}=r\)
また、\({\rm OA}=2\) で線分 \({\rm OP}\) の \(x\) 成分が \(r\cos \theta\) より、
\({\rm PH}=2-r\cos \theta\)
これより、放物線の定義より、焦点と準線からの距離が等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OP}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~r&=&2-r\cos \theta
\\[3pt]~~~r+r\cos \theta&=&2
\\[3pt]~~~r(1+\cos \theta)&=&2\end{eqnarray}\)
\(1+\cos \theta \neq 0\) より、
\(r=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\cos \theta\,}\)
したがって、極方程式は \(r=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\cos \theta\,}\) となる
