- 数学C｜２次曲線「直交座標の方程式を極方程式に変換」の基本例題解説ページです。
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問題｜直交座標の方程式を極方程式に変換
２次曲線 31曲線 \(x^2+y^2-4x=0~,~\)\(x^2-y^2=1~,~\)\(x^2+2y^2=2\) を極方程式で表す方法は？
高校数学C｜２次曲線
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直交座標の方程式を極方程式に変換
解法のPoint
直交座標の方程式を極方程式に変換
Point：直交座標の方程式を極方程式に変換直交座標の方程式を極方程式で表す方法は、
① 直交座標の方程式の \(x\) と \(y\) に \(x=r\cos \theta\) 、\(y=r\sin \theta\) を代入する。
② 三角比の相互関係の公式や \(2\) 倍角の公式を用いて、式を整理する。
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\)
\(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)
\(\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\)
① 直交座標の方程式の \(x\) と \(y\) に \(x=r\cos \theta\) 、\(y=r\sin \theta\) を代入する。
② 三角比の相互関係の公式や \(2\) 倍角の公式を用いて、式を整理する。
\(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1\)
\(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)
\(\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\)
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詳しい解説｜直交座標の方程式を極方程式に変換
２次曲線 31曲線 \(x^2+y^2-4x=0~,~\)\(x^2-y^2=1~,~\)\(x^2+2y^2=2\) を極方程式で表す方法は？
高校数学C｜２次曲線
極座標 \((r~,~\theta)\) について、曲線 \(x^2+y^2-4x=0\) より、
\(x=r\cos \theta~,~\)\(y=r\sin \theta\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~(r\cos \theta)^2+(r\sin \theta)^2-4(r\cos \theta)&=&0
\\[3pt]~~~r^2\cos^2 \theta+r^2\sin^2 \theta-4r\cos \theta&=&0
\\[3pt]~~~r^2(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)&=&4r\cos \theta
\\[3pt]~~~r^2&=&4r\cos \theta\end{eqnarray}\)
\(r \neq 0\) より、両辺を \(r\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~~~~\displaystyle \frac{\,r^2\,}{\,r\,}&=&\displaystyle \frac{\,4r\cos \theta\,}{\,r\,}
\\[3pt]~~~r&=&4\cos \theta\end{eqnarray}\)
したがって、極方程式は \(r=4\cos \theta\) となる
極座標 \((r~,~\theta)\) について、曲線 \(x^2-y^2=1\) より、
\(x=r\cos \theta~,~\)\(y=r\sin \theta\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~(r\cos \theta)^2-(r\sin \theta)^2&=&1
\\[3pt]~~~r^2\cos^2 \theta-r^2\sin^2 \theta&=&1
\\[3pt]~~~r^2(\cos^2 \theta-\sin^2 \theta)&=&1\end{eqnarray}\)
\(2\) 倍角の公式 \(\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\) より、
\(r^2\cos 2\theta=1\)
したがって、極方程式は \(r^2\cos 2\theta=1\) となる
極座標 \((r~,~\theta)\) について、曲線 \(x^2+2y^2=2\) より、
\(x=r\cos \theta~,~\)\(y=r\sin \theta\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~(r\cos \theta)^2+2(r\sin \theta)^2&=&2
\\[3pt]~~~r^2\cos^2 \theta+2r^2\sin^2 \theta&=&2
\\[3pt]~~~r^2(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta+\sin^2 \theta)&=&2
\\[3pt]~~~r^2(1+\sin^2 \theta)&=&2\end{eqnarray}\)
\(1+\sin^2 \theta \neq 0\) より、両辺を \(1+\sin^2 \theta\) で割ると、
\(~~~~~~r^2=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\sin^2 \theta\,}\)
したがって、極方程式は \(r^2=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+\sin^2 \theta\,}\) となる
