このページは、「直交座標の方程式を極方程式に変換」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(a \gt 0\) とする。\(2\) 定点 \({\rm A}(-a~,~0)~,~\)\({\rm B}(a~,~0)\) からの距離の積が \(a^2\) に等しい点 \({\rm P}\) の軌跡をレムニスケートという。
\({\small (1)}~\)レムニスケートの方程式は、次の式で与えられることを示せ。
\((x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)\)
\({\small (2)}~\)レムニスケートの極方程式を求め、\(a=1\) のときの概形をコンピュータで描け。
\({\small (1)}~\)レムニスケートの方程式は、次の式で与えられることを示せ。
\((x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)\)
\({\small (2)}~\)レムニスケートの極方程式を求め、\(a=1\) のときの概形をコンピュータで描け。
数研出版｜数学C[708] p.163 演習問題B 6
\({\small (1)}~\)[証明] 点 \({\rm P}\) の座標を \((x~,~y)\) とすると、
\(2\) 定点 \({\rm A}(-a~,~0)~,~\)\({\rm B}(a~,~0)\) からの距離の積が \(a^2\) に等しいので、
\({\rm AP} \cdot {\rm BP}=a^2\)
ここで、\(2\) 点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&\sqrt{\,\left\{\,x-(-a)\,\right\}^2+(y-0)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(x+a)^2+y^2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BP}&=&\sqrt{\,(x-a)^2+(y-0)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,(x-a)^2+y^2\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\sqrt{\,(x+a)^2+y^2\,} \cdot \sqrt{\,(x-a)^2+y^2\,}=a^2\)
両辺は \(0\) 以上なので、両辺を \(2\) 乗すると、
\(\left\{\,(x+a)^2+y^2\,\right\}\left\{\,(x-a)^2+y^2\,\right\}=a^4\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+a)^2+y^2&=&x^2+2ax+a^2+y^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2+y^2+a^2)+2ax\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(x-a)^2+y^2&=&x^2-2ax+a^2+y^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2+y^2+a^2)-2ax\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{\,(x^2+y^2+a^2)+2ax\,\right\}\left\{\,(x^2+y^2+a^2)-2ax\,\right\}&=&a^4
\\[3pt]~~~(x^2+y^2+a^2)^2-(2ax)^2&=&a^4
\\[3pt]~~~(x^2+y^2)^2+2a^2(x^2+y^2)+a^4-4a^2x^2&=&a^4
\\[3pt]~~~(x^2+y^2)^2+2a^2(x^2+y^2)-4a^2x^2&=&0
\\[3pt]~~~(x^2+y^2)^2&=&4a^2x^2-2a^2(x^2+y^2)
\\[3pt]~~~&=&4a^2x^2-2a^2x^2-2a^2y^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2x^2-2a^2y^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2(x^2-y^2)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(x^2+y^2+a^2)^2-(2ax)^2&=&a^4
\\[3pt]~~~(x^2+y^2)^2+2a^2(x^2+y^2)+a^4-4a^2x^2&=&a^4
\\[3pt]~~~(x^2+y^2)^2+2a^2(x^2+y^2)-4a^2x^2&=&0
\\[3pt]~~~(x^2+y^2)^2&=&4a^2x^2-2a^2(x^2+y^2)
\\[3pt]~~~&=&4a^2x^2-2a^2x^2-2a^2y^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2x^2-2a^2y^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2(x^2-y^2)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
逆に、この方程式を満たす点 \({\rm P}\) は条件を満たす
したがって、レムニスケートの方程式は \((x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)\) となる [終]
\({\small (2)}~\)極座標 \((r~,~\theta)\) について、曲線 \((x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)\) より、
\(x=r\cos \theta~,~\)\(y=r\sin \theta\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{\,(r\cos \theta)^2+(r\sin \theta)^2\,\right\}^2&=&2a^2\left\{\,(r\cos \theta)^2-(r\sin \theta)^2\,\right\}
\\[3pt]~~~(r^2\cos^2 \theta+r^2\sin^2 \theta)^2&=&2a^2(r^2\cos^2 \theta-r^2\sin^2 \theta)
\\[3pt]~~~\left\{\,r^2(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)\,\right\}^2&=&2a^2r^2(\cos^2 \theta-\sin^2 \theta)
\\[3pt]~~~(r^2)^2&=&2a^2r^2(\cos^2 \theta-\sin^2 \theta)
\\[3pt]~~~r^4&=&2a^2r^2(\cos^2 \theta-\sin^2 \theta)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(r^2\cos^2 \theta+r^2\sin^2 \theta)^2&=&2a^2(r^2\cos^2 \theta-r^2\sin^2 \theta)
\\[3pt]~~~\left\{\,r^2(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta)\,\right\}^2&=&2a^2r^2(\cos^2 \theta-\sin^2 \theta)
\\[3pt]~~~(r^2)^2&=&2a^2r^2(\cos^2 \theta-\sin^2 \theta)
\\[3pt]~~~r^4&=&2a^2r^2(\cos^2 \theta-\sin^2 \theta)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(2\) 倍角の公式 \(\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta\) より、
\(r^4=2a^2r^2\cos 2\theta\)
\(r \neq 0\) より、両辺を \(r^2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~~~~\displaystyle \frac{\,r^4\,}{\,r^2\,}&=&\displaystyle \frac{\,2a^2r^2\cos 2\theta\,}{\,r^2\,}
\\[5pt]~~~r^2&=&2a^2\cos 2\theta\end{eqnarray}\)
したがって、極方程式は \(r^2=2a^2\cos 2\theta\) となる
