このページは、「極座標を用いた図形の計量」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
極座標を用いた図形の計量 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) の極座標を、それぞれ \(\left(3~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~,~\)\(\left(4~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) とする。極 \({\rm O}\) と点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) を頂点とする \(\triangle {\rm OAB}\) の面積 \(S\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学C[709] p.149 章末問題A 5
数研出版｜新編数学C[710] p.142 章末問題A 5
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\(2\) 点 \({\rm A}\left(3~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~,~\)\({\rm B}\left(4~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) と極 \({\rm O}\) について、
\(\angle {\rm AOB}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\pi-\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
これより、\({\rm OA}=3~,~{\rm OB}=4\) 、\(\angle {\rm AOB}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より三角形の面積の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&6 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle {\rm OAB}\) の面積は \(S=3\) となる
\(\angle {\rm AOB}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\pi-\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
これより、\({\rm OA}=3~,~{\rm OB}=4\) 、\(\angle {\rm AOB}=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) より三角形の面積の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&6 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle {\rm OAB}\) の面積は \(S=3\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02次の極座標で表された \(2\) 点間の距離を求めよ。
\({\small (1)}~{\rm P}\left(4~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)~,~\)\({\rm Q}\left(8~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\)
\({\small (2)}~{\rm P}\left(7~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\right)~,~\)\({\rm Q}\left(8~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)\)
\({\small (1)}~{\rm P}\left(4~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)~,~\)\({\rm Q}\left(8~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\)
\({\small (2)}~{\rm P}\left(7~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\right)~,~\)\({\rm Q}\left(8~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)\)
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.112 問題 13
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\({\small (1)}~\)\(2\) 点 \({\rm P}\left(4~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)~,~\)\({\rm Q}\left(8~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\right)\) と極 \({\rm O}\) について、
\(\angle {\rm POQ}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,7\pi-3\pi\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,12\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\triangle {\rm OPQ}\) について余弦定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}^2&=&4^2+8^2-2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&16+64-64 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&80-32
\\[5pt]~~~&=&48\end{eqnarray}\)
\({\rm PQ} \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}&=&\sqrt{\,48\,}
\\[3pt]~~~&=&4\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(2\) 点間の距離は \(4\sqrt{\,3\,}\) となる
\(\angle {\rm POQ}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi&=&\displaystyle \frac{\,9\pi-5\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
これより、\(\triangle {\rm OPQ}\) について余弦定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}^2&=&7^2+8^2-2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&49+64-112 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&113+56
\\[5pt]~~~&=&169\end{eqnarray}\)
\({\rm PQ} \gt 0\) より、
\({\rm PQ}=13\)
したがって、\(2\) 点間の距離は \(13\) となる
\(\angle {\rm POQ}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,7\pi-3\pi\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,12\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\triangle {\rm OPQ}\) について余弦定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}^2&=&4^2+8^2-2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&16+64-64 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&80-32
\\[5pt]~~~&=&48\end{eqnarray}\)
\({\rm PQ} \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}&=&\sqrt{\,48\,}
\\[3pt]~~~&=&4\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(2\) 点間の距離は \(4\sqrt{\,3\,}\) となる
\({\small (2)}~\)\(2\) 点 \({\rm P}\left(7~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\right)~,~\)\({\rm Q}\left(8~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\right)\) と極 \({\rm O}\) について、
\(\angle {\rm POQ}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi&=&\displaystyle \frac{\,9\pi-5\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\end{eqnarray}\)
これより、\(\triangle {\rm OPQ}\) について余弦定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}^2&=&7^2+8^2-2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&49+64-112 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&113+56
\\[5pt]~~~&=&169\end{eqnarray}\)
\({\rm PQ} \gt 0\) より、
\({\rm PQ}=13\)
したがって、\(2\) 点間の距離は \(13\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03極を点 \({\rm O}\) 、\(2\) 点 \({\rm P}_1~,~{\rm P}_2\) の極座標をそれぞれ \((r_1~,~\theta_1)~,~\)\((r_2~,~\theta_2)\) とするとき、次のことを示せ。
\({\small (1)}~\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\, r_1r_2\sin (\theta_2-\theta_1) \,|\)
\({\small (2)}~\)\(2\) 点 \({\rm P}_1~,~{\rm P}_2\) の直交座標をそれぞれ \((x_1~,~y_1)~,~\)\((x_2~,~y_2)\) とするとき
\(\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\, x_1y_2-x_2y_1 \,|\)
\({\small (1)}~\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\, r_1r_2\sin (\theta_2-\theta_1) \,|\)
\({\small (2)}~\)\(2\) 点 \({\rm P}_1~,~{\rm P}_2\) の直交座標をそれぞれ \((x_1~,~y_1)~,~\)\((x_2~,~y_2)\) とするとき
\(\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\, x_1y_2-x_2y_1 \,|\)
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.114 練習問題A 6
東京書籍｜Standard数学C[702] p.111 Level Up 13
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\({\small (1)}~\)[証明] \(2\) 点 \({\rm P}_1(r_1~,~\theta_1)~,~\)\({\rm P}_2(r_2~,~\theta_2)\) と極 \({\rm O}\) について、
\({\rm OP}_1=r_1~,~{\rm OP}_2=r_2\) 、\(\angle {\rm P}_1{\rm OP}_2=|\, \theta_2-\theta_1 \,|\) となるので、
三角形の面積の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r_1 \cdot r_2 \cdot \sin |\, \theta_2-\theta_1 \,|\end{eqnarray}\)
ここで、\(0 \lt |\, \theta_2-\theta_1 \,| \lt \pi\) より、
\(\sin |\, \theta_2-\theta_1 \,|=|\, \sin (\theta_2-\theta_1) \,|\)
となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r_1r_2|\, \sin (\theta_2-\theta_1) \,|\end{eqnarray}\)
また、\(r_1 \gt 0~,~r_2 \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\, r_1r_2\sin (\theta_2-\theta_1) \,|\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\, r_1r_2\sin (\theta_2-\theta_1) \,|\) が成り立つ [終]
\(x_1=r_1\cos \theta_1~,~y_1=r_1\sin \theta_1\)
\(x_2=r_2\cos \theta_2~,~y_2=r_2\sin \theta_2\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\, r_1r_2\sin (\theta_2-\theta_1) \,|
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\, x_1y_2-x_2y_1 \,|\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\, x_1y_2-x_2y_1 \,|\) が成り立つ [終]
\({\rm OP}_1=r_1~,~{\rm OP}_2=r_2\) 、\(\angle {\rm P}_1{\rm OP}_2=|\, \theta_2-\theta_1 \,|\) となるので、
三角形の面積の公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r_1 \cdot r_2 \cdot \sin |\, \theta_2-\theta_1 \,|\end{eqnarray}\)
ここで、\(0 \lt |\, \theta_2-\theta_1 \,| \lt \pi\) より、
\(\sin |\, \theta_2-\theta_1 \,|=|\, \sin (\theta_2-\theta_1) \,|\)
となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r_1r_2|\, \sin (\theta_2-\theta_1) \,|\end{eqnarray}\)
また、\(r_1 \gt 0~,~r_2 \gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\phantom{\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\, r_1r_2\sin (\theta_2-\theta_1) \,|\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\, r_1r_2\sin (\theta_2-\theta_1) \,|\) が成り立つ [終]
\({\small (2)}~\)[証明] 極座標 \((r~,~\theta)\) と直交座標 \((x~,~y)\) の関係より、
\(x_1=r_1\cos \theta_1~,~y_1=r_1\sin \theta_1\)
\(x_2=r_2\cos \theta_2~,~y_2=r_2\sin \theta_2\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~x_1y_2-x_2y_1&=&r_1\cos \theta_1 \cdot r_2\sin \theta_2-r_2\cos \theta_2 \cdot r_1\sin \theta_1
\\[3pt]~~~&=&r_1r_2(\sin \theta_2\cos \theta_1-\cos \theta_2\sin \theta_1)
\\[3pt]~~~&=&r_1r_2\sin (\theta_2-\theta_1)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&r_1r_2(\sin \theta_2\cos \theta_1-\cos \theta_2\sin \theta_1)
\\[3pt]~~~&=&r_1r_2\sin (\theta_2-\theta_1)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\({\small (1)}\) の結果を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\, r_1r_2\sin (\theta_2-\theta_1) \,|
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\, x_1y_2-x_2y_1 \,|\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle {\rm OP}_1{\rm P}_2=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\, x_1y_2-x_2y_1 \,|\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(2\) 点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) の極座標が次のように与えられたとき、線分 \({\rm AB}\) の長さを求めよ。
\({\small (1)}~{\rm A}\left(4~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~,~\)\({\rm B}\left(3~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)\)
\({\small (2)}~{\rm A}\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)~,~\)\({\rm B}\left(2\sqrt{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
\({\small (1)}~{\rm A}\left(4~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~,~\)\({\rm B}\left(3~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)\)
\({\small (2)}~{\rm A}\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)~,~\)\({\rm B}\left(2\sqrt{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\)
東京書籍｜Standard数学C[702] p.111 Level Up 10
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\({\small (1)}~\)\(2\) 点 \({\rm A}\left(4~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~,~\)\({\rm B}\left(3~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)\) と極 \({\rm O}\) について、
\(\angle {\rm AOB}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\pi-\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\triangle {\rm OAB}\) について余弦定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&16+9-24 \cdot 0
\\[5pt]~~~&=&25\end{eqnarray}\)
\({\rm AB} \gt 0\) より、
\({\rm AB}=5\)
したがって、線分 \({\rm AB}\) の長さは \(5\) となる
\(\angle {\rm AOB}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\pi-\pi\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,12\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\triangle {\rm OAB}\) について余弦定理を用いると、
\({\rm AB}=2\)
したがって、線分 \({\rm AB}\) の長さは \(2\) となる
\(\angle {\rm AOB}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\pi-\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\triangle {\rm OAB}\) について余弦定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&16+9-24 \cdot 0
\\[5pt]~~~&=&25\end{eqnarray}\)
\({\rm AB} \gt 0\) より、
\({\rm AB}=5\)
したがって、線分 \({\rm AB}\) の長さは \(5\) となる
\({\small (2)}~\)\(2\) 点 \({\rm A}\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\right)~,~\)\({\rm B}\left(2\sqrt{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) と極 \({\rm O}\) について、
\(\angle {\rm AOB}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\pi-\pi\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,12\,}\pi
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(\triangle {\rm OAB}\) について余弦定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&2^2+(2\sqrt{\,2\,})^2-2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{\,2\,} \cdot \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&4+8-8\sqrt{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&12-8
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&4+8-8\sqrt{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&12-8
\\[5pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\rm AB} \gt 0\) より、
\({\rm AB}=2\)
したがって、線分 \({\rm AB}\) の長さは \(2\) となる
