- 数学C｜２次曲線「楕円の方程式と概形」の基本例題解説ページです。
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問題｜楕円の方程式と概形
２次曲線 03楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の長軸の長さ、短軸の長さ、焦点、頂点、楕円の概形は？また、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\) では？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
楕円の方程式と概形
Point：楕円の方程式と概形
\(\small [\,1\,]\) \(a \gt b \gt 0\) のとき、
\(c=\sqrt{\,a^2-b^2\,}\) とすると、
・長軸の長さは \(2a\) 、短軸の長さは \(2b\)
・焦点は \(x\) 軸上にあり \({\rm F}(c~,~0)~,~{\rm F}^{\prime}(-c~,~0)\)
・\(4\) つの頂点は
\((a~,~0)~,~\)\((-a~,~0)~,~\)\((0~,~b)~,~\)\((0~,~-b)\)
・原点が中心で、
\(x\) 軸、\(y\) 軸、原点に関して対称
・楕円上の点から \(2\) つの焦点までの距離の和は
一定で \(2a\) となる。
\(\small [\,2\,]\) \(b \gt a \gt 0\) のとき、
\(c=\sqrt{\,b^2-a^2\,}\) とすると、
・長軸の長さは \(2b\) 、短軸の長さは \(2a\)
・焦点は \(y\) 軸上にあり \({\rm F}(0~,~c)~,~{\rm F}^{\prime}(0~,~-c)\)
・\(4\) つの頂点は
\((a~,~0)~,~\)\((-a~,~0)~,~\)\((0~,~b)~,~\)\((0~,~-b)\)
・原点が中心で、
\(x\) 軸、\(y\) 軸、原点に関して対称
・楕円上の点から \(2\) つの焦点までの距離の和は
一定で \(2b\) となる。
楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) は、\(2\) つの焦点からの距離の和が一定である点の軌跡である。
\(\small [\,1\,]\) \(a \gt b \gt 0\) のとき、
\(c=\sqrt{\,a^2-b^2\,}\) とすると、
・長軸の長さは \(2a\) 、短軸の長さは \(2b\)
・焦点は \(x\) 軸上にあり \({\rm F}(c~,~0)~,~{\rm F}^{\prime}(-c~,~0)\)
・\(4\) つの頂点は
\((a~,~0)~,~\)\((-a~,~0)~,~\)\((0~,~b)~,~\)\((0~,~-b)\)
・原点が中心で、
\(x\) 軸、\(y\) 軸、原点に関して対称
・楕円上の点から \(2\) つの焦点までの距離の和は
一定で \(2a\) となる。
\(\small [\,2\,]\) \(b \gt a \gt 0\) のとき、
\(c=\sqrt{\,b^2-a^2\,}\) とすると、
・長軸の長さは \(2b\) 、短軸の長さは \(2a\)
・焦点は \(y\) 軸上にあり \({\rm F}(0~,~c)~,~{\rm F}^{\prime}(0~,~-c)\)
・\(4\) つの頂点は
\((a~,~0)~,~\)\((-a~,~0)~,~\)\((0~,~b)~,~\)\((0~,~-b)\)
・原点が中心で、
\(x\) 軸、\(y\) 軸、原点に関して対称
・楕円上の点から \(2\) つの焦点までの距離の和は
一定で \(2b\) となる。
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詳しい解説｜楕円の方程式と概形
２次曲線 03楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) の長軸の長さ、短軸の長さ、焦点、頂点、楕円の概形は？また、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\) では？
高校数学C｜２次曲線
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,5^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3^2\,}=1\)
これより、\(a=5~,~b=3\) となる
長軸の長さは、\(2a=2 \cdot 5=10\)
短軸の長さは、\(2b=2 \cdot 3=6\)
ここで、\(a \gt b\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,a^2-b^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5^2-3^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,25-9\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16\,}
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、焦点は、\((4~,~0)~,~\)\((-4~,~0)\)
また、頂点は \(a=5~,~b=3\) より、
\((5~,~0)~,~\)\((-5~,~0)~,~\)\((0~,~3)~,~\)\((0~,~-3)\)
中心は原点より、この楕円の概形は、
※ \(4\) 本の直線 \(x=5~,~\)\(x=-5~,~\)\(y=3~,~\)\(y=-3\) で囲まれた長方形の中に入る楕円を考える。
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,3^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,5^2\,}=1\)
これより、\(a=3~,~b=5\) となる
長軸の長さは、\(2b=2 \cdot 5=10\)
短軸の長さは、\(2a=2 \cdot 3=6\)
ここで、\(a \lt b\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,b^2-a^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5^2-3^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,25-9\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16\,}
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、焦点は、\((0~,~4)~,~\)\((0~,~-4)\)
また、頂点は \(a=3~,~b=5\) より、
\((3~,~0)~,~\)\((-3~,~0)~,~\)\((0~,~5)~,~\)\((0~,~-5)\)
中心は原点より、この楕円の概形は、
※ \(4\) 本の直線 \(x=3~,~\)\(x=-3~,~\)\(y=5~,~\)\(y=-5\) で囲まれた長方形の中に入る楕円を考える。
