- 数学C｜２次曲線「2次曲線と直線の共有点の個数」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次曲線と直線の共有点の個数
２次曲線 12\(k\) を定数として、楕円 \(x^2+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) と直線 \(y=x+k\) の共有点の個数の調べ方は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
2次曲線と直線の共有点の個数
Point：2次曲線と直線の共有点の個数
① 2次曲線と直線の方程式を連立して、\(x\) の2次方程式をつくる。
\(x^2+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) と \(y=x+k\) より、
\(5x^2+2kx+(k^2-4)=0\)
② 2次方程式の判別式 \(D\) の符号より、共有点の個数を調べる。
\(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=-4k^2+20\) より、
\({\small [\,1\,]}~D \gt 0\) のとき 共有点 \(2\) 個
\({\small [\,2\,]}~D=0\) のとき 共有点 \(1\) 個
\({\small [\,3\,]}~D \lt 0\) のとき 共有点 \(0\) 個
2次曲線と直線の共有点の個数は、
① 2次曲線と直線の方程式を連立して、\(x\) の2次方程式をつくる。
\(x^2+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) と \(y=x+k\) より、
\(5x^2+2kx+(k^2-4)=0\)
② 2次方程式の判別式 \(D\) の符号より、共有点の個数を調べる。
\(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=-4k^2+20\) より、
\({\small [\,1\,]}~D \gt 0\) のとき 共有点 \(2\) 個
\({\small [\,2\,]}~D=0\) のとき 共有点 \(1\) 個
\({\small [\,3\,]}~D \lt 0\) のとき 共有点 \(0\) 個
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詳しい解説｜2次曲線と直線の共有点の個数
２次曲線 12\(k\) を定数として、楕円 \(x^2+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) と直線 \(y=x+k\) の共有点の個数の調べ方は？
高校数学C｜２次曲線
\(x^2+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) の両辺に \(4\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2{\, \small \times \,}4+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}4&=&1{\, \small \times \,}4
\\[5pt]~~~4x^2+y^2&=&4\end{eqnarray}\)
この式に \(y=x+k\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4x^2+(x+k)^2&=&4
\\[3pt]~~~4x^2+x^2+2kx+k^2&=&4
\\[3pt]~~~5x^2+2kx+(k^2-4)&=&0\end{eqnarray}\)
ここで、この \(x\) の2次方程式の判別式を \(D\) とすると、共有点の個数は実数解の個数と一致するので、
\(5x^2+2\cdot kx+(k^2-4)=0\) としたときの、\(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=b^{\prime 2}-ac\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&k^2-5(k^2-4)
\\[5pt]~~~&=&k^2-5k^2+20
\\[5pt]~~~&=&-4k^2+20\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~D \gt 0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~-4k^2+20&\gt&0
\\[3pt]~~~-4(k^2-5)&\gt&0
\\[3pt]~~~k^2-5&\lt&0
\\[3pt]~~~(k+\sqrt{\,5\,})(k-\sqrt{\,5\,})&\lt&0\end{eqnarray}\)
よって、\(-\sqrt{\,5\,} \lt k \lt \sqrt{\,5\,}\) のとき、共有点は \(2\) 個
\({\small [\,2\,]}~D=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~-4k^2+20&=&0
\\[3pt]~~~-4(k^2-5)&=&0
\\[3pt]~~~k^2-5&=&0
\\[3pt]~~~k^2&=&5
\\[3pt]~~~k&=&\pm \sqrt{\,5\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(k=\pm \sqrt{\,5\,}\) のとき、共有点は \(1\) 個
\({\small [\,3\,]}~D \lt 0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~-4k^2+20&\lt&0
\\[3pt]~~~-4(k^2-5)&\lt&0
\\[3pt]~~~k^2-5&\gt&0
\\[3pt]~~~(k+\sqrt{\,5\,})(k-\sqrt{\,5\,})&\gt&0\end{eqnarray}\)
よって、\(k \lt -\sqrt{\,5\,}~,~\sqrt{\,5\,} \lt k\) のとき、共有点は \(0\) 個
したがって、
\(-\sqrt{\,5\,} \lt k \lt \sqrt{\,5\,}\) のとき \(2\) 個
\(k=\pm \sqrt{\,5\,}\) のとき \(1\) 個
\(k \lt -\sqrt{\,5\,}~,~\sqrt{\,5\,} \lt k\) のとき \(0\) 個
