- 数学C｜２次曲線「2次曲線の不等式と領域」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次曲線の不等式と領域
２次曲線 20☆不等式 \(y^2 \lt 4x\) 、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,} \lt 1\) 、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}{\small ~≧~}1\) の表す領域の図示の方法は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
2次曲線の不等式と領域
Point：2次曲線と領域次の不等式で表される領域は、それぞれ図の色を塗った部分になる。ただし、境界線を含まない。
■ 放物線の領域
\(p \gt 0\) として、
\({\small [\,1\,]}~y^2 \lt 4px\) 放物線の右側
\({\small [\,2\,]}~y^2 \gt 4px\) 放物線の左側
■ 楕円の領域
\(a \gt b \gt 0\) として、
\({\small [\,1\,]}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,} \lt 1\) 楕円の内側
\({\small [\,2\,]}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,} \gt 1\) 楕円の外側
■ 双曲線の領域
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) として、
\({\small [\,1\,]}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,} \gt 1\) 双曲線の左右側
\({\small [\,2\,]}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,} \lt 1\) 双曲線の上下側
※ 不等式が等号を含む場合は、境界線を含む。
■ 放物線の領域
\(p \gt 0\) として、
\({\small [\,1\,]}~y^2 \lt 4px\) 放物線の右側
\({\small [\,2\,]}~y^2 \gt 4px\) 放物線の左側
■ 楕円の領域
\(a \gt b \gt 0\) として、
\({\small [\,1\,]}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,} \lt 1\) 楕円の内側
\({\small [\,2\,]}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,} \gt 1\) 楕円の外側
■ 双曲線の領域
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) として、
\({\small [\,1\,]}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,} \gt 1\) 双曲線の左右側
\({\small [\,2\,]}~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,} \lt 1\) 双曲線の上下側
※ 不等式が等号を含む場合は、境界線を含む。
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詳しい解説｜2次曲線の不等式と領域
２次曲線 20☆不等式 \(y^2 \lt 4x\) 、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,} \lt 1\) 、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}{\small ~≧~}1\) の表す領域の図示の方法は？
高校数学C｜２次曲線
放物線 \(y^2=4x\) は、\(p=1\) より、
頂点が原点、焦点が \({\rm F}(1~,~0)\)
準線が \(x=-1\) で
\(x\) 軸が軸の放物線となる
これより、求める \(y^2 \lt 4x\) の領域は、
ただし、境界線は含まない
点 \((1~,~0)\) のとき \(0 \lt 4\) となり成り立つので、点 \((1~,~0)\) を含む側が領域となる。
楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) は、
\(a=3~,~b=2\) より、頂点が
\((3~,~0)~,~(0~,~2)~,~(-3~,~0)~,~(0~,~-2)\)
中心が原点の楕円となる
これより、求める \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,} \lt 1\) の領域は、
ただし、境界線は含まない
点 \((0~,~0)\) のとき \(0 \lt 1\) となり成り立つので、点 \((0~,~0)\) を含む側が領域となる。
双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) は、
\(a=3~,~b=2\) より、
漸近線が \(y=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x~,~y=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x\) で
頂点が \(x\) 軸上にある双曲線となる
これより、求める \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}{\small ~≧~}1\) の領域は、
ただし、境界線は含む
点 \((0~,~0)\) のとき \(0{\small ~≧~}1\) とはならず成り立たないので、点 \((0~,~0)\) を含まない側が領域となる。
