このページは、「2次曲線の不等式と領域」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(x~,~y\) は正の実数とする。\({\rm AB}=1~,~{\rm BC}=x~,~{\rm CA}=y\) で \(\angle {\rm BAC}\) が鈍角であるような三角形 \({\rm ABC}\) が存在するための必要十分条件を \(x~,~y\) を用いて表し、それを満たす点 \((x~,~y)\) の範囲を座標平面上に図示せよ。
数研出版｜数学C[708] p.142 問題 6
三角形 \({\rm ABC}\) が存在するための条件は、\(1\) つの辺の長さが他の \(2\) 辺の長さの和より小さくなることなので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&\lt&y+1~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\[3pt]~~~y&\lt&1+x~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\\[3pt]~~~1&\lt&x+y~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
次に、\(\angle {\rm BAC}\) について余弦定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \angle {\rm BAC}&=&\displaystyle \frac{\,y^2+1^2-x^2\,}{\,2 \cdot y \cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,y^2-x^2+1\,}{\,2y\,}\end{eqnarray}\)
\(\angle {\rm BAC}\) が鈍角となるのは \(\cos \angle {\rm BAC}\lt0\) のときなので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y^2-x^2+1\,}{\,2y\,}&\lt&0\end{eqnarray}\)
\(y\gt0\) より \(2y\gt0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2-x^2+1&\lt&0
\\[3pt]~~~x^2-y^2&\gt&1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\({\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&\gt&y^2+1\end{eqnarray}\)
\(y^2+1\gt y^2\) より \(x^2\gt y^2\) となり、\(x\gt0~,~y\gt0\) なので、
\(x\gt y\)
また、\(y^2+1\gt1\) より \(x^2\gt1\) となり、\(x\gt0\) なので、
\(x\gt1\)
\(y \lt x\) と \(x \lt 1+x\) より \({\small [\,2\,]}\) は成り立ち、\(1 \lt x\) と \(x \lt x+y\) より \({\small [\,3\,]}\) も成り立つ
よって、\({\small [\,4\,]}\) のもとで残る条件は \({\small [\,1\,]}\) のみとなる
したがって、求める必要十分条件は
\(x^2-y^2\gt1\) かつ \(x \lt y+1\)
また、図示すると、
ただし、境界線は含まない
