2次曲線と直線の共有点の座標

\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) の両辺に \(9{\, \small \times \,}4\) をかけると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}{\, \small \times \,}9{\, \small \times \,}4+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}9{\, \small \times \,}4&=&1{\, \small \times \,}9{\, \small \times \,}4
\\[5pt]~~~4x^2+9y^2&=&36\end{eqnarray}\)

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この式に \(y=x-2\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~4x^2+9(x-2)^2&=&36
\\[3pt]~~~4x^2+9(x^2-4x+4)&=&36
\\[3pt]~~~4x^2+9x^2-36x+36&=&36
\\[3pt]~~~13x^2-36x&=&0
\\[3pt]~~~x(13x-36)&=&0
\\[5pt]~~~x&=&0~,~\displaystyle \frac{\,36\,}{\,13\,}\end{eqnarray}\)

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　\(x=0\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&0-2\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)

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　\(x=\displaystyle \frac{\,36\,}{\,13\,}\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,36\,}{\,13\,}-2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,36-26\,}{\,13\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,10\,}{\,13\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、共有点の座標は

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　\(\left(0~,~-2\right)~,~\left(\displaystyle \frac{\,36\,}{\,13\,}~,~\displaystyle \frac{\,10\,}{\,13\,}\right)\) となる

 
 

\(y^2=4x\) に \(y=x+1\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~(x+1)^2&=&4x
\\[3pt]~~~x^2+2x+1&=&4x
\\[3pt]~~~x^2-2x+1&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)

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　\(x=1\) のとき、

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　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1+1\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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したがって、共有点の座標は \((1~,~2)\) となる