- 数学C｜２次曲線「2次曲線の軌跡」の基本例題解説ページです。
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問題｜2次曲線の軌跡
２次曲線 17長さ \(5\) の線分 \({\rm AB}\) の点 \({\rm A}\) は \(x\) 軸上を、点 \({\rm B}\) は \(y\) 軸上を動くとき、線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分する点 \({\rm P}\) の軌跡の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
2次曲線の軌跡
Point：2次曲線の軌跡2次曲線を表す点の軌跡は、
① 求める軌跡の点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおき、別の条件の点の座標を \(s~,~t\) を用いて表す。
\({\rm P}(x~,~y)\)、\({\rm A}(s~,~0)\) 、\({\rm B}(0~,~t)\) とおく。
② 点の条件から式をつくる。
\({\rm AB}=5\) より、\(s^2+t^2=25\)
点 \({\rm P}\) が線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分するので、
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}s~,~y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}t\)
③ \(s~,~t\) を代入して、\(x~,~y\) だけの式にし、逆に条件を満たすことを確認し、軌跡を求める。
① 求める軌跡の点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおき、別の条件の点の座標を \(s~,~t\) を用いて表す。
\({\rm P}(x~,~y)\)、\({\rm A}(s~,~0)\) 、\({\rm B}(0~,~t)\) とおく。
② 点の条件から式をつくる。
\({\rm AB}=5\) より、\(s^2+t^2=25\)
点 \({\rm P}\) が線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分するので、
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}s~,~y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}t\)
③ \(s~,~t\) を代入して、\(x~,~y\) だけの式にし、逆に条件を満たすことを確認し、軌跡を求める。
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詳しい解説｜2次曲線の軌跡
２次曲線 17長さ \(5\) の線分 \({\rm AB}\) の点 \({\rm A}\) は \(x\) 軸上を、点 \({\rm B}\) は \(y\) 軸上を動くとき、線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分する点 \({\rm P}\) の軌跡の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
\(x\) 軸上の点 \({\rm A}\) を \((s~,~0)\) 、\(y\) 軸上の点 \({\rm B}\) を \((0~,~t)\) とおくと、
線分 \({\rm AB}\) の長さは \(5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&\sqrt{\,s^2+t^2\,}=5\end{eqnarray}\)
\(s^2+t^2=25~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
線分 \({\rm AB}\) を \(3:2\) に内分する点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(x=\displaystyle \frac{\,2 \cdot s+3 \cdot 0\,}{\,3+2\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,2 \cdot 0+3 \cdot t\,}{\,3+2\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}s~,~y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}t\)
これより、
\(s=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x~,~t=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}y\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}y\right)^2&=&25
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,25x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,25y^2\,}{\,9\,}&=&25\end{eqnarray}\)
\(25\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) となる
