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目次
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01長さが \(7\) の線分 \({\rm AB}\) の端点 \({\rm A}\) は \(x\) 軸上を、端点 \({\rm B}\) は \(y\) 軸上を動くとき、線分 \({\rm AB}\) を \(4:3\) に内分する点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
数研出版｜数学C[708] p.123 練習8
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\(x\) 軸上の点 \({\rm A}\) を \((s~,~0)\) 、\(y\) 軸上の点 \({\rm B}\) を \((0~,~t)\) とおくと、
線分 \({\rm AB}\) の長さは \(7\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&\sqrt{\,s^2+t^2\,}=7\end{eqnarray}\)
\(s^2+t^2=49~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
線分 \({\rm AB}\) を \(4:3\) に内分する点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(x=\displaystyle \frac{\,3 \cdot s+4 \cdot 0\,}{\,4+3\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,3 \cdot 0+4 \cdot t\,}{\,4+3\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}s~,~y=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}t\)
これより、
\(s=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}x~,~t=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}y\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}x\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}y\right)^2&=&49
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,49x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,49y^2\,}{\,16\,}&=&49\end{eqnarray}\)
\(49\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,16\,}=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,16\,}=1\) となる
線分 \({\rm AB}\) の長さは \(7\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&\sqrt{\,s^2+t^2\,}=7\end{eqnarray}\)
\(s^2+t^2=49~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
線分 \({\rm AB}\) を \(4:3\) に内分する点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(x=\displaystyle \frac{\,3 \cdot s+4 \cdot 0\,}{\,4+3\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,3 \cdot 0+4 \cdot t\,}{\,4+3\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}s~,~y=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}t\)
これより、
\(s=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}x~,~t=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}y\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}x\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}y\right)^2&=&49
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,49x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,49y^2\,}{\,16\,}&=&49\end{eqnarray}\)
\(49\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,16\,}=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,16\,}=1\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02長さが \(5\) の線分 \({\rm AB}\) の端点 \({\rm A}\) は \(x\) 軸上を、端点 \({\rm B}\) は \(y\) 軸上を動くとき、線分 \({\rm AB}\) を \(2:1\) に外分する点 \({\rm Q}\) の軌跡を求めよ。
数研出版｜数学C[708] p.123 練習9
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\(x\) 軸上の点 \({\rm A}\) を \((s~,~0)\) 、\(y\) 軸上の点 \({\rm B}\) を \((0~,~t)\) とおくと、
線分 \({\rm AB}\) の長さは \(5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&\sqrt{\,s^2+t^2\,}=5\end{eqnarray}\)
\(s^2+t^2=25~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
線分 \({\rm AB}\) を \(2:1\) に外分する点 \({\rm Q}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(x=\displaystyle \frac{\,-1 \cdot s+2 \cdot 0\,}{\,2-1\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,-1 \cdot 0+2 \cdot t\,}{\,2-1\,}\)
\(x=-s~,~y=2t\)
これより、
\(s=-x~,~t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}y\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(-x)^2+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}y\right)^2&=&25
\\[5pt]~~~x^2+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}&=&25\end{eqnarray}\)
\(25\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,100\,}=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
条件を満たす点 \({\rm Q}\) は \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,100\,}=1\) となる
線分 \({\rm AB}\) の長さは \(5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&\sqrt{\,s^2+t^2\,}=5\end{eqnarray}\)
\(s^2+t^2=25~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
線分 \({\rm AB}\) を \(2:1\) に外分する点 \({\rm Q}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(x=\displaystyle \frac{\,-1 \cdot s+2 \cdot 0\,}{\,2-1\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,-1 \cdot 0+2 \cdot t\,}{\,2-1\,}\)
\(x=-s~,~y=2t\)
これより、
\(s=-x~,~t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}y\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(-x)^2+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}y\right)^2&=&25
\\[5pt]~~~x^2+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}&=&25\end{eqnarray}\)
\(25\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,100\,}=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
条件を満たす点 \({\rm Q}\) は \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,100\,}=1\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の軌跡を求めよ。
\({\small (1)}~2\) 点 \((1~,~-2)\) 、\((1~,~6)\) からの距離の和が \(10\) である点の軌跡
\({\small (2)}~2\) 点 \((0~,~-1)\) 、\((10~,~-1)\) からの距離の差が \(8\) である点の軌跡
\({\small (3)}~\)点 \((1~,~1)\) と直線 \(x=3\) からの距離が等しい点の軌跡
\({\small (1)}~2\) 点 \((1~,~-2)\) 、\((1~,~6)\) からの距離の和が \(10\) である点の軌跡
\({\small (2)}~2\) 点 \((0~,~-1)\) 、\((10~,~-1)\) からの距離の差が \(8\) である点の軌跡
\({\small (3)}~\)点 \((1~,~1)\) と直線 \(x=3\) からの距離が等しい点の軌跡
数研出版｜数学C[708] p.142 問題 3(1)(2)(3)
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\({\small (1)}~\)\(2\) 定点からの距離の和が一定である点の軌跡は、この \(2\) 点を焦点とする楕円となるので、
\(2\) 点 \((1~,~-2)\) 、\((1~,~6)\) の中点が楕円の中心となることより、
\(\left(\displaystyle \frac{\,1+1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,-2+6\,}{\,2\,}\right)=(1~,~2)\)
ここで、中心が原点にくるように \(x\) 軸方向に \(-1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) 平行移動すると、
\(2\) つの焦点は、
\((0~,~-4)\) 、\((0~,~4)\)
焦点が \(y\) 軸上にあるので、この楕円を \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1~(b \gt a \gt 0)\) とおくと、
距離の和は長軸の長さと等しく \(2b=10\) となるので、
\(b=5\)
また、焦点が \((0~,~-4)\) 、\((0~,~4)\) より、\(\sqrt{\,b^2-a^2\,}=4\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2-a^2&=&16
\\[3pt]~~~a^2&=&25-16
\\[3pt]~~~a^2&=&9\end{eqnarray}\)
よって、平行移動した楕円の方程式は、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\)
これを\(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(2\) 平行移動してもとに戻すと、
\(\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,(y-2)^2\,}{\,25\,}=1\)
したがって、求める軌跡は、楕円 \(\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,(y-2)^2\,}{\,25\,}=1\) となる
\(2\) 点 \((0~,~-1)\) 、\((10~,~-1)\) の中点が双曲線の中心となることより、
\(\left(\displaystyle \frac{\,0+10\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,-1-1\,}{\,2\,}\right)=(5~,~-1)\)
ここで、中心が原点にくるように \(x\) 軸方向に \(-5\) 、\(y\) 軸方向に \(1\) 平行移動すると、
\(2\) つの焦点は、
\((-5~,~0)\) 、\((5~,~0)\)
焦点が \(x\) 軸上にあるので、この双曲線を \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1~(a \gt 0~,~b \gt 0)\) とおくと、
距離の差は \(2a\) と等しく \(2a=8\) となるので、
\(a=4\)
また、焦点が \((-5~,~0)\) 、\((5~,~0)\) より、\(\sqrt{\,a^2+b^2\,}=5\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2&=&25
\\[3pt]~~~b^2&=&25-16
\\[3pt]~~~b^2&=&9\end{eqnarray}\)
よって、平行移動した双曲線の方程式は、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\)
これを\(x\) 軸方向に \(5\) 、\(y\) 軸方向に \(-1\) 平行移動してもとに戻すと、
\(\displaystyle \frac{\,(x-5)^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,(y+1)^2\,}{\,9\,}=1\)
したがって、求める軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,(x-5)^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,(y+1)^2\,}{\,9\,}=1\) となる
焦点 \((1~,~1)\) から準線 \(x=3\) に下ろした垂線の足は \((3~,~1)\) となり、放物線の頂点はこの \(2\) 点の中点となることより、
\(\left(\displaystyle \frac{\,1+3\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1+1\,}{\,2\,}\right)=(2~,~1)\)
ここで、頂点が原点にくるように \(x\) 軸方向に \(-2\) 、\(y\) 軸方向に \(-1\) 平行移動すると、
焦点と準線は、
\((-1~,~0)\) 、\(x=1\)
放物線 \(y^2=4px\) の焦点は \((p~,~0)\) 、準線は \(x=-p\) であるので、
\(p=-1\)
よって、平行移動した放物線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&4 \cdot (-1) \cdot x
\\[3pt]~~~y^2&=&-4x\end{eqnarray}\)
これを\(x\) 軸方向に \(2\) 、\(y\) 軸方向に \(1\) 平行移動してもとに戻すと、
\((y-1)^2=-4(x-2)\)
したがって、求める軌跡は、放物線 \((y-1)^2=-4(x-2)\) となる
\(2\) 点 \((1~,~-2)\) 、\((1~,~6)\) の中点が楕円の中心となることより、
\(\left(\displaystyle \frac{\,1+1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,-2+6\,}{\,2\,}\right)=(1~,~2)\)
ここで、中心が原点にくるように \(x\) 軸方向に \(-1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) 平行移動すると、
\(2\) つの焦点は、
\((0~,~-4)\) 、\((0~,~4)\)
焦点が \(y\) 軸上にあるので、この楕円を \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1~(b \gt a \gt 0)\) とおくと、
距離の和は長軸の長さと等しく \(2b=10\) となるので、
\(b=5\)
また、焦点が \((0~,~-4)\) 、\((0~,~4)\) より、\(\sqrt{\,b^2-a^2\,}=4\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2-a^2&=&16
\\[3pt]~~~a^2&=&25-16
\\[3pt]~~~a^2&=&9\end{eqnarray}\)
よって、平行移動した楕円の方程式は、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,25\,}=1\)
これを\(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(2\) 平行移動してもとに戻すと、
\(\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,(y-2)^2\,}{\,25\,}=1\)
したがって、求める軌跡は、楕円 \(\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,(y-2)^2\,}{\,25\,}=1\) となる
\({\small (2)}~\)\(2\) 定点からの距離の差が一定である点の軌跡は、この \(2\) 点を焦点とする双曲線となるので、
\(2\) 点 \((0~,~-1)\) 、\((10~,~-1)\) の中点が双曲線の中心となることより、
\(\left(\displaystyle \frac{\,0+10\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,-1-1\,}{\,2\,}\right)=(5~,~-1)\)
ここで、中心が原点にくるように \(x\) 軸方向に \(-5\) 、\(y\) 軸方向に \(1\) 平行移動すると、
\(2\) つの焦点は、
\((-5~,~0)\) 、\((5~,~0)\)
焦点が \(x\) 軸上にあるので、この双曲線を \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1~(a \gt 0~,~b \gt 0)\) とおくと、
距離の差は \(2a\) と等しく \(2a=8\) となるので、
\(a=4\)
また、焦点が \((-5~,~0)\) 、\((5~,~0)\) より、\(\sqrt{\,a^2+b^2\,}=5\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2&=&25
\\[3pt]~~~b^2&=&25-16
\\[3pt]~~~b^2&=&9\end{eqnarray}\)
よって、平行移動した双曲線の方程式は、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\)
これを\(x\) 軸方向に \(5\) 、\(y\) 軸方向に \(-1\) 平行移動してもとに戻すと、
\(\displaystyle \frac{\,(x-5)^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,(y+1)^2\,}{\,9\,}=1\)
したがって、求める軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,(x-5)^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,(y+1)^2\,}{\,9\,}=1\) となる
\({\small (3)}~\)定点と定直線からの距離が等しい点の軌跡は、その点を焦点、その直線を準線とする放物線となるので、
焦点 \((1~,~1)\) から準線 \(x=3\) に下ろした垂線の足は \((3~,~1)\) となり、放物線の頂点はこの \(2\) 点の中点となることより、
\(\left(\displaystyle \frac{\,1+3\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,1+1\,}{\,2\,}\right)=(2~,~1)\)
ここで、頂点が原点にくるように \(x\) 軸方向に \(-2\) 、\(y\) 軸方向に \(-1\) 平行移動すると、
焦点と準線は、
\((-1~,~0)\) 、\(x=1\)
放物線 \(y^2=4px\) の焦点は \((p~,~0)\) 、準線は \(x=-p\) であるので、
\(p=-1\)
よって、平行移動した放物線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&4 \cdot (-1) \cdot x
\\[3pt]~~~y^2&=&-4x\end{eqnarray}\)
これを\(x\) 軸方向に \(2\) 、\(y\) 軸方向に \(1\) 平行移動してもとに戻すと、
\((y-1)^2=-4(x-2)\)
したがって、求める軌跡は、放物線 \((y-1)^2=-4(x-2)\) となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04放物線 \(y^2=4px\) の焦点を \({\rm F}\) とする。点 \({\rm Q}\) がこの放物線上を動くとき、線分 \({\rm FQ}\) の中点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。ただし、\(p\) は \(0\) でない定数とする。
数研出版｜数学C[708] p.142 問題 5
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放物線 \(y^2=4px\) の焦点 \({\rm F}\) は \((p~,~0)\) となるので、
放物線上の点 \({\rm Q}\) を \((s~,~t)\) とおくと、
\(t^2=4ps~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
線分 \({\rm FQ}\) の中点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(x=\displaystyle \frac{\,p+s\,}{\,2\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,0+t\,}{\,2\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,p+s\,}{\,2\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,t\,}{\,2\,}\)
これより、
\(s=2x-p~,~t=2y\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2y)^2&=&4p(2x-p)
\\[3pt]~~~4y^2&=&8px-4p^2\end{eqnarray}\)
\(4\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&2px-p^2
\\[3pt]~~~y^2&=&2p\left(x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}p\right)~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、\(y^2=2p\left(x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}p\right)\) となる
放物線上の点 \({\rm Q}\) を \((s~,~t)\) とおくと、
\(t^2=4ps~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
線分 \({\rm FQ}\) の中点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(x=\displaystyle \frac{\,p+s\,}{\,2\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,0+t\,}{\,2\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,p+s\,}{\,2\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,t\,}{\,2\,}\)
これより、
\(s=2x-p~,~t=2y\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2y)^2&=&4p(2x-p)
\\[3pt]~~~4y^2&=&8px-4p^2\end{eqnarray}\)
\(4\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&2px-p^2
\\[3pt]~~~y^2&=&2p\left(x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}p\right)~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、\(y^2=2p\left(x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}p\right)\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05楕円 \(4x^2+y^2=4\) が、直線 \(y=-x+k\) と異なる \(2\) 点 \({\rm Q}(x_1~,~y_1)\) 、\({\rm R}(x_2~,~y_2)\) で交わるとき、定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。また、線分 \({\rm QR}\) の中点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
数研出版｜数学C[708] p.163 演習問題A 2
数研出版｜高等学校数学C[709] p.150 章末問題B 10
数研出版｜新編数学C[710] p.143 章末問題B 10
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\(y=-x+k\) を \(4x^2+y^2=4\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4x^2+(-x+k)^2&=&4
\\[3pt]~~~4x^2+x^2-2kx+k^2&=&4
\\[3pt]~~~5x^2-2kx+k^2-4&=&0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(2\) 点 \({\rm Q}\) 、\({\rm R}\) の \(x\) 座標 \(x_1~,~x_2\) は \({\small [\,1\,]}\) の解となるので、
異なる \(2\) 点で交わるとき、\({\small [\,1\,]}\) の判別式を \(D\) とすると \(D \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(-k)^2-5 \cdot (k^2-4)
\\[5pt]~~~&=&k^2-5k^2+20
\\[5pt]~~~&=&-4k^2+20\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~-4k^2+20&\gt&0
\\[3pt]~~~k^2-5&\lt&0
\\[3pt]~~~(k+\sqrt{\,5\,})(k-\sqrt{\,5\,})&\lt&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(-\sqrt{\,5\,} \lt k \lt \sqrt{\,5\,}\) となる
\(x_1+x_2=\displaystyle \frac{\,2k\,}{\,5\,}\)
線分 \({\rm QR}\) の中点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,x_1+x_2\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,2k\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,k\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
また、点 \({\rm P}\) は直線 \(y=-x+k\) 上にあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,5\,}+k
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-k+5k\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4k\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(x=\displaystyle \frac{\,k\,}{\,5\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,4k\,}{\,5\,}\)
\(k=5x\) を \(y=\displaystyle \frac{\,4k\,}{\,5\,}\) に代入して \(k\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 5x\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&4x\end{eqnarray}\)
また、\(k=5x\) を \(-\sqrt{\,5\,} \lt k \lt \sqrt{\,5\,}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-\sqrt{\,5\,} &\lt& 5x \lt \sqrt{\,5\,}
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,} &\lt& x \lt \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は、直線 \(y=4x\) の \(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,} \lt x \lt \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\) の部分にある
逆に、この部分上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(y=4x\) の \(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,} \lt x \lt \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\) の部分となる
\(\begin{eqnarray}~~~4x^2+(-x+k)^2&=&4
\\[3pt]~~~4x^2+x^2-2kx+k^2&=&4
\\[3pt]~~~5x^2-2kx+k^2-4&=&0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(2\) 点 \({\rm Q}\) 、\({\rm R}\) の \(x\) 座標 \(x_1~,~x_2\) は \({\small [\,1\,]}\) の解となるので、
異なる \(2\) 点で交わるとき、\({\small [\,1\,]}\) の判別式を \(D\) とすると \(D \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(-k)^2-5 \cdot (k^2-4)
\\[5pt]~~~&=&k^2-5k^2+20
\\[5pt]~~~&=&-4k^2+20\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~-4k^2+20&\gt&0
\\[3pt]~~~k^2-5&\lt&0
\\[3pt]~~~(k+\sqrt{\,5\,})(k-\sqrt{\,5\,})&\lt&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(-\sqrt{\,5\,} \lt k \lt \sqrt{\,5\,}\) となる
次に、\({\small [\,1\,]}\) の解が \(x_1~,~x_2\) であることより、解と係数の関係から、
\(x_1+x_2=\displaystyle \frac{\,2k\,}{\,5\,}\)
線分 \({\rm QR}\) の中点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,x_1+x_2\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,2k\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,k\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
また、点 \({\rm P}\) は直線 \(y=-x+k\) 上にあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,5\,}+k
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-k+5k\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4k\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(x=\displaystyle \frac{\,k\,}{\,5\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,4k\,}{\,5\,}\)
\(k=5x\) を \(y=\displaystyle \frac{\,4k\,}{\,5\,}\) に代入して \(k\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,4 \cdot 5x\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&4x\end{eqnarray}\)
また、\(k=5x\) を \(-\sqrt{\,5\,} \lt k \lt \sqrt{\,5\,}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-\sqrt{\,5\,} &\lt& 5x \lt \sqrt{\,5\,}
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,} &\lt& x \lt \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は、直線 \(y=4x\) の \(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,} \lt x \lt \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\) の部分にある
逆に、この部分上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(y=4x\) の \(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,} \lt x \lt \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\) の部分となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06放物線 \(y^2=4px\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)傾きが \(m\) である接線の方程式を求めよ。ただし、\(m \neq 0\) とする。
\({\small (2)}~\)直交する \(2\) つの接線の交点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
\({\small (1)}~\)傾きが \(m\) である接線の方程式を求めよ。ただし、\(m \neq 0\) とする。
\({\small (2)}~\)直交する \(2\) つの接線の交点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
数研出版｜数学C[708] p.163 演習問題B 5
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\({\small (1)}~\)傾きが \(m\) である接線の方程式を \(y=mx+n\) とおくと、
これを \(y^2=4px\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(mx+n)^2&=&4px
\\[3pt]~~~m^2x^2+2mnx+n^2&=&4px
\\[3pt]~~~m^2x^2+(2mn-4p)x+n^2&=&0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(m \neq 0\) より \({\small [\,1\,]}\) は \(2\) 次方程式となり、接するとき重解をもつので、
\({\small [\,1\,]}\) の判別式を \(D\) とすると \(D=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(mn-2p)^2-m^2 \cdot n^2
\\[5pt]~~~&=&m^2n^2-4mnp+4p^2-m^2n^2
\\[5pt]~~~&=&-4mnp+4p^2\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~-4mnp+4p^2&=&0
\\[3pt]~~~-4p(mn-p)&=&0\end{eqnarray}\)
放物線 \(y^2=4px\) より \(p \neq 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~mn-p&=&0
\\[3pt]~~~mn&=&p
\\[3pt]~~~n&=&\displaystyle \frac{\,p\,}{\,m\,}\end{eqnarray}\)
したがって、求める接線の方程式は、\(y=mx+\displaystyle \frac{\,p\,}{\,m\,}\) となる
\(y=mx+\displaystyle \frac{\,p\,}{\,m\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
これと直交する接線の傾きは \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\) となるので、
\({\small [\,2\,]}\) の \(m\) を \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\) におきかえると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}x+p{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\right)
\\[5pt]~~~y&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}x-pm~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
交点 \({\rm P}\) の座標は、\({\small [\,2\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) の連立方程式の解となるので、
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,3\,]}\) を計算すると、
ここで \(m+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}=\displaystyle \frac{\,m^2+1\,}{\,m\,} \neq 0\) となるので、
両辺を \(m+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\) で割ると、
\(x=-p\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \(x=-p\) 上にある
逆に、直線 \(x=-p\) 上の任意の点は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=-p\) となる
これを \(y^2=4px\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(mx+n)^2&=&4px
\\[3pt]~~~m^2x^2+2mnx+n^2&=&4px
\\[3pt]~~~m^2x^2+(2mn-4p)x+n^2&=&0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(m \neq 0\) より \({\small [\,1\,]}\) は \(2\) 次方程式となり、接するとき重解をもつので、
\({\small [\,1\,]}\) の判別式を \(D\) とすると \(D=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&(mn-2p)^2-m^2 \cdot n^2
\\[5pt]~~~&=&m^2n^2-4mnp+4p^2-m^2n^2
\\[5pt]~~~&=&-4mnp+4p^2\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~-4mnp+4p^2&=&0
\\[3pt]~~~-4p(mn-p)&=&0\end{eqnarray}\)
放物線 \(y^2=4px\) より \(p \neq 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~mn-p&=&0
\\[3pt]~~~mn&=&p
\\[3pt]~~~n&=&\displaystyle \frac{\,p\,}{\,m\,}\end{eqnarray}\)
したがって、求める接線の方程式は、\(y=mx+\displaystyle \frac{\,p\,}{\,m\,}\) となる
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\) より、傾きが \(m\) である接線の方程式は、
\(y=mx+\displaystyle \frac{\,p\,}{\,m\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
これと直交する接線の傾きは \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\) となるので、
\({\small [\,2\,]}\) の \(m\) を \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\) におきかえると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}x+p{\, \small \div \,}\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\right)
\\[5pt]~~~y&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}x-pm~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
交点 \({\rm P}\) の座標は、\({\small [\,2\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) の連立方程式の解となるので、
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,3\,]}\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~0&=&mx+\displaystyle \frac{\,p\,}{\,m\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}x+pm
\\[5pt]~~~0&=&\left(m+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\right)x+p\left(m+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\right)
\\[5pt]~~~\left(m+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\right)x&=&-p\left(m+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\right)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~0&=&\left(m+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\right)x+p\left(m+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\right)
\\[5pt]~~~\left(m+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\right)x&=&-p\left(m+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\right)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで \(m+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}=\displaystyle \frac{\,m^2+1\,}{\,m\,} \neq 0\) となるので、
両辺を \(m+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m\,}\) で割ると、
\(x=-p\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \(x=-p\) 上にある
逆に、直線 \(x=-p\) 上の任意の点は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=-p\) となる
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07座標平面上において、長さが \(7\) の線分 \({\rm AB}\) の端点 \({\rm A}\) は \(x\) 軸上を、端点 \({\rm B}\) は \(y\) 軸上を動くとき、線分 \({\rm AB}\) を \(3:4\) に内分する点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
数研出版｜高等学校数学C[709] p.113 練習8
数研出版｜新編数学C[710] p.112 練習8
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\(x\) 軸上の点 \({\rm A}\) を \((s~,~0)\) 、\(y\) 軸上の点 \({\rm B}\) を \((0~,~t)\) とおくと、
線分 \({\rm AB}\) の長さは \(7\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&\sqrt{\,s^2+t^2\,}=7\end{eqnarray}\)
\(s^2+t^2=49~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
線分 \({\rm AB}\) を \(3:4\) に内分する点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(x=\displaystyle \frac{\,4 \cdot s+3 \cdot 0\,}{\,3+4\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,4 \cdot 0+3 \cdot t\,}{\,3+4\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}s~,~y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}t\)
これより、
\(s=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}x~,~t=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}y\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}x\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}y\right)^2&=&49
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,49x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,49y^2\,}{\,9\,}&=&49\end{eqnarray}\)
\(49\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) となる
線分 \({\rm AB}\) の長さは \(7\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&\sqrt{\,s^2+t^2\,}=7\end{eqnarray}\)
\(s^2+t^2=49~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
線分 \({\rm AB}\) を \(3:4\) に内分する点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(x=\displaystyle \frac{\,4 \cdot s+3 \cdot 0\,}{\,3+4\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,4 \cdot 0+3 \cdot t\,}{\,3+4\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}s~,~y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}t\)
これより、
\(s=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}x~,~t=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}y\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}x\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}y\right)^2&=&49
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,49x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,49y^2\,}{\,9\,}&=&49\end{eqnarray}\)
\(49\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) となる
問題アーカイブ08
問題アーカイブ08直線 \(x=-1\) に接し、点 \({\rm A}(1~,~0)\) を通る円の中心を \({\rm P}(x~,~y)\) とする。点 \({\rm P}\) の軌跡はどのような曲線になるか。
数研出版｜高等学校数学C[709] p.150 章末問題B 7
数研出版｜新編数学C[710] p.143 章末問題B 7
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中心 \({\rm P}(x~,~y)\) の円の半径を \(r\) とおくと、
円が直線 \(x=-1\) に接することより、中心 \({\rm P}\) と直線 \(x=-1\) の距離が半径 \(r\) となるので、
\(|\, x+1 \,|=r~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
円が点 \({\rm A}(1~,~0)\) を通ることより、\({\rm PA}\) の長さが半径 \(r\) となるので、
\(\sqrt{\,(x-1)^2+y^2\,}=r~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より \(r\) を消去すると、
\(\sqrt{\,(x-1)^2+y^2\,}=|\, x+1 \,|\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2+y^2&=&(x+1)^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1+y^2&=&x^2+2x+1
\\[3pt]~~~y^2&=&4x~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は \({\small [\,3\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,3\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、放物線 \(y^2=4x\) となる
円が直線 \(x=-1\) に接することより、中心 \({\rm P}\) と直線 \(x=-1\) の距離が半径 \(r\) となるので、
\(|\, x+1 \,|=r~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
円が点 \({\rm A}(1~,~0)\) を通ることより、\({\rm PA}\) の長さが半径 \(r\) となるので、
\(\sqrt{\,(x-1)^2+y^2\,}=r~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より \(r\) を消去すると、
\(\sqrt{\,(x-1)^2+y^2\,}=|\, x+1 \,|\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2+y^2&=&(x+1)^2
\\[3pt]~~~x^2-2x+1+y^2&=&x^2+2x+1
\\[3pt]~~~y^2&=&4x~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は \({\small [\,3\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,3\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、放物線 \(y^2=4x\) となる
問題アーカイブ09
問題アーカイブ09長さ \(5\) の線分 \({\rm PQ}\) がある。点 \({\rm P}\) が \(x\) 軸上、点 \({\rm Q}\) が \(y\) 軸上を動くとき、\({\rm PQ}\) を \(3:2\) に内分する点 \({\rm R}\) の軌跡を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.81 問9
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\(x\) 軸上の点 \({\rm P}\) を \((s~,~0)\) 、\(y\) 軸上の点 \({\rm Q}\) を \((0~,~t)\) とおくと、
線分 \({\rm PQ}\) の長さは \(5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}&=&\sqrt{\,s^2+t^2\,}=5\end{eqnarray}\)
\(s^2+t^2=25~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
線分 \({\rm PQ}\) を \(3:2\) に内分する点 \({\rm R}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(x=\displaystyle \frac{\,2 \cdot s+3 \cdot 0\,}{\,3+2\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,2 \cdot 0+3 \cdot t\,}{\,3+2\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}s~,~y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}t\)
これより、
\(s=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x~,~t=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}y\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}y\right)^2&=&25
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,25x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,25y^2\,}{\,9\,}&=&25\end{eqnarray}\)
\(25\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
条件を満たす点 \({\rm R}\) は \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) となる
線分 \({\rm PQ}\) の長さは \(5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}&=&\sqrt{\,s^2+t^2\,}=5\end{eqnarray}\)
\(s^2+t^2=25~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
線分 \({\rm PQ}\) を \(3:2\) に内分する点 \({\rm R}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(x=\displaystyle \frac{\,2 \cdot s+3 \cdot 0\,}{\,3+2\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,2 \cdot 0+3 \cdot t\,}{\,3+2\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}s~,~y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}t\)
これより、
\(s=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x~,~t=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}y\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}x\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}y\right)^2&=&25
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,25x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,25y^2\,}{\,9\,}&=&25\end{eqnarray}\)
\(25\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
条件を満たす点 \({\rm R}\) は \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) となる
問題アーカイブ10
問題アーカイブ10定円 \({\rm O}\) と、この円に交わらない定直線 \(m\) がある。円 \({\rm O}\) に外接し、直線 \(m\) に接する円の中心 \({\rm P}\) の軌跡は放物線であることを、放物線の定義にしたがって示せ。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.96 問題 1
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[証明]
円 \({\rm O}\) の半径を \(r\) 、円 \({\rm P}\) の半径を \(R\) とすると、
円 \({\rm P}\) は円 \({\rm O}\) に外接するので、
\({\rm OP}=r+R~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、円 \({\rm P}\) は直線 \(m\) に接するので、点 \({\rm P}\) と直線 \(m\) との距離は \(R\) となる
ここで、\(m\) に関して円 \({\rm O}\) と反対側に、\(m\) との距離が \(r\) となる直線 \(\ell\) をとると、
点 \({\rm P}\) は \(m\) に関して円 \({\rm O}\) と同じ側にあるので、
点 \({\rm P}\) から直線 \(\ell\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、点 \({\rm P}\) と直線 \(\ell\) との距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=R+r~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\({\rm OP}={\rm PH}\)
これより、点 \({\rm P}\) は定点 \({\rm O}\) からの距離と定直線 \(\ell\) からの距離が常に等しい点となる
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、点 \({\rm O}\) を焦点、直線 \(\ell\) を準線とする放物線となる
[終]
円 \({\rm O}\) の半径を \(r\) 、円 \({\rm P}\) の半径を \(R\) とすると、
円 \({\rm P}\) は円 \({\rm O}\) に外接するので、
\({\rm OP}=r+R~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、円 \({\rm P}\) は直線 \(m\) に接するので、点 \({\rm P}\) と直線 \(m\) との距離は \(R\) となる
ここで、\(m\) に関して円 \({\rm O}\) と反対側に、\(m\) との距離が \(r\) となる直線 \(\ell\) をとると、
点 \({\rm P}\) は \(m\) に関して円 \({\rm O}\) と同じ側にあるので、
点 \({\rm P}\) から直線 \(\ell\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、点 \({\rm P}\) と直線 \(\ell\) との距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=R+r~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\({\rm OP}={\rm PH}\)
これより、点 \({\rm P}\) は定点 \({\rm O}\) からの距離と定直線 \(\ell\) からの距離が常に等しい点となる
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、点 \({\rm O}\) を焦点、直線 \(\ell\) を準線とする放物線となる
[終]
問題アーカイブ11
問題アーカイブ11長さ \(2\) の線分 \({\rm PQ}\) がある。点 \({\rm P}\) が \(x\) 軸上、点 \({\rm Q}\) が \(y\) 軸上を動くとき、\({\rm PQ}\) を \(3:5\) に外分する点 \({\rm R}\) の軌跡を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.96 問題 3
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\(x\) 軸上の点 \({\rm P}\) を \((s~,~0)\) 、\(y\) 軸上の点 \({\rm Q}\) を \((0~,~t)\) とおくと、
線分 \({\rm PQ}\) の長さは \(2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}&=&\sqrt{\,s^2+t^2\,}=2\end{eqnarray}\)
\(s^2+t^2=4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
線分 \({\rm PQ}\) を \(3:5\) に外分する点 \({\rm R}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(x=\displaystyle \frac{\,-5 \cdot s+3 \cdot 0\,}{\,3-5\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,-5 \cdot 0+3 \cdot t\,}{\,3-5\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,-5s\,}{\,-2\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,3t\,}{\,-2\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}s~,~y=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}t\)
これより、
\(s=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}x~,~t=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}y\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}x\right)^2+\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}y\right)^2&=&4
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,4x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,4y^2\,}{\,9\,}&=&4\end{eqnarray}\)
\(4\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
条件を満たす点 \({\rm R}\) は \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) となる
線分 \({\rm PQ}\) の長さは \(2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}&=&\sqrt{\,s^2+t^2\,}=2\end{eqnarray}\)
\(s^2+t^2=4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
線分 \({\rm PQ}\) を \(3:5\) に外分する点 \({\rm R}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(x=\displaystyle \frac{\,-5 \cdot s+3 \cdot 0\,}{\,3-5\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,-5 \cdot 0+3 \cdot t\,}{\,3-5\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,-5s\,}{\,-2\,}~,~y=\displaystyle \frac{\,3t\,}{\,-2\,}\)
\(x=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}s~,~y=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}t\)
これより、
\(s=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}x~,~t=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}y\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}x\right)^2+\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}y\right)^2&=&4
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,4x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,4y^2\,}{\,9\,}&=&4\end{eqnarray}\)
\(4\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
条件を満たす点 \({\rm R}\) は \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) となる
問題アーカイブ12
問題アーカイブ12円 \(x^2+y^2=1\) 上に、\({\rm A}(1~,~0)\) 、\({\rm B}(-1~,~0)\) と異なる \(2\) 点 \({\rm P}(s~,~t)\) 、\({\rm Q}(s~,~-t)\) をとるとき、\(2\) 直線 \({\rm AP}\) 、\({\rm BQ}\) の交点のえがく軌跡を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.114 練習問題A 4
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点 \({\rm P}(s~,~t)\) は円 \(x^2+y^2=1\) 上にあるので、
\(s^2+t^2=1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) 、\({\rm Q}\) は \(2\) 点 \({\rm A}(1~,~0)\) 、\({\rm B}(-1~,~0)\) と異なるので、
\(t \neq 0\)
このとき \({\small [\,1\,]}\) より \(s \neq 1\) 、\(s \neq -1\) となるので、
直線 \({\rm AP}\) 、\({\rm BQ}\) の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,t\,}{\,s-1\,}(x-1)
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,-t\,}{\,s+1\,}(x+1)\end{eqnarray}\)
それぞれ分母をはらうと、
\(\begin{eqnarray}~~~(s-1)y&=&t(x-1)~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\\[3pt]~~~(s+1)y&=&-t(x+1)~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(2\) 直線 \({\rm AP}\) 、\({\rm BQ}\) の交点を \((x~,~y)\) とすると、
\({\small [\,2\,]}+{\small [\,3\,]}\) より、
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,3\,]}\) より、
\(t \neq 0\) と \({\small [\,4\,]}\) より \(sy \neq 0\) となるので、
\(y \neq 0\) となり、\({\small [\,5\,]}\) より \(x \neq 0\) となる
\({\small [\,5\,]}\) より、
\(t=-\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\)
これを \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~sy&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^2+\left(-\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\right)^2&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,x^2\,}&=&1\end{eqnarray}\)
両辺に \(x^2\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~1+y^2&=&x^2
\\[3pt]~~~x^2-y^2&=&1~~~\cdots {\small [\,6\,]}\end{eqnarray}\)
条件を満たす交点は、\({\small [\,6\,]}\) の \(y \neq 0\) の部分にある
逆に、この部分上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、双曲線 \(x^2-y^2=1\) の \(2\) 点 \((1~,~0)\) 、\((-1~,~0)\) を除いた部分となる
\(s^2+t^2=1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) 、\({\rm Q}\) は \(2\) 点 \({\rm A}(1~,~0)\) 、\({\rm B}(-1~,~0)\) と異なるので、
\(t \neq 0\)
このとき \({\small [\,1\,]}\) より \(s \neq 1\) 、\(s \neq -1\) となるので、
直線 \({\rm AP}\) 、\({\rm BQ}\) の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,t\,}{\,s-1\,}(x-1)
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,-t\,}{\,s+1\,}(x+1)\end{eqnarray}\)
それぞれ分母をはらうと、
\(\begin{eqnarray}~~~(s-1)y&=&t(x-1)~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\\[3pt]~~~(s+1)y&=&-t(x+1)~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(2\) 直線 \({\rm AP}\) 、\({\rm BQ}\) の交点を \((x~,~y)\) とすると、
\({\small [\,2\,]}+{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(s-1)y+(s+1)y&=&t(x-1)-t(x+1)
\\[3pt]~~~2sy&=&-2t
\\[3pt]~~~sy&=&-t~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~2sy&=&-2t
\\[3pt]~~~sy&=&-t~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,2\,]}-{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(s-1)y-(s+1)y&=&t(x-1)+t(x+1)
\\[3pt]~~~-2y&=&2tx
\\[3pt]~~~-y&=&tx~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~-2y&=&2tx
\\[3pt]~~~-y&=&tx~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(t \neq 0\) と \({\small [\,4\,]}\) より \(sy \neq 0\) となるので、
\(y \neq 0\) となり、\({\small [\,5\,]}\) より \(x \neq 0\) となる
\({\small [\,5\,]}\) より、
\(t=-\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\)
これを \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~sy&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^2+\left(-\displaystyle \frac{\,y\,}{\,x\,}\right)^2&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,x^2\,}&=&1\end{eqnarray}\)
両辺に \(x^2\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~1+y^2&=&x^2
\\[3pt]~~~x^2-y^2&=&1~~~\cdots {\small [\,6\,]}\end{eqnarray}\)
条件を満たす交点は、\({\small [\,6\,]}\) の \(y \neq 0\) の部分にある
逆に、この部分上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、双曲線 \(x^2-y^2=1\) の \(2\) 点 \((1~,~0)\) 、\((-1~,~0)\) を除いた部分となる
問題アーカイブ13
問題アーカイブ13円 \(x^2+(y-2)^2=1\) に外接し、\(x\) 軸に接する円の中心 \({\rm P}\) の軌跡は放物線であることを示し、その焦点と準線を求めよ。
東京書籍｜Standard数学C[702] p.110 Level Up 4
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中心 \({\rm P}(x~,~y)\) の円の半径を \(r\) とおくと、
この円が \(x\) 軸に接することより、中心 \({\rm P}\) と \(x\) 軸の距離が半径 \(r\) となるので、
\(r=|\, y \,|~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
円 \(x^2+(y-2)^2=1\) の中心を \({\rm C}\) とすると、\({\rm C}(0~,~2)\) 、半径は \(1\) となるので、
\(2\) つの円が外接することより、中心間の距離が半径の和と等しくなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm CP}&=&r+1
\\[3pt]~~~\sqrt{\,x^2+(y-2)^2\,}&=&r+1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\sqrt{\,x^2+(y-2)^2\,}=|\, y \,|+1\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(y-2)^2&=&(|\, y \,|+1)^2
\\[3pt]~~~x^2+y^2-4y+4&=&y^2+2|\, y \,|+1
\\[3pt]~~~x^2-4y+3&=&2|\, y \,|~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(y{\small ~≧~}0\) のとき、\(|\, y \,|=y\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4y+3&=&2y
\\[3pt]~~~x^2+3&=&6y
\\[3pt]~~~x^2&=&6y-3\end{eqnarray}\)
このとき \(y=\displaystyle \frac{\,x^2+3\,}{\,6\,}{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となるので、\(y{\small ~≧~}0\) を満たす
\(y \lt 0\) のとき、\(|\, y \,|=-y\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4y+3&=&-2y
\\[3pt]~~~x^2+3&=&2y
\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,x^2+3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
このとき \(y \gt 0\) となるので、\(y \lt 0\) を満たさず、この場合は起こらない
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&6y-3
\\[5pt]~~~x^2&=&6\left(y-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は \({\small [\,4\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,4\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は放物線 \(x^2=6\left(y-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\) となる
まず、\(x^2=6y\) の焦点と準線を求めると、
放物線 \(x^2=4py\) の焦点は \((0~,~p)\) 、準線は \(y=-p\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~4p&=&6
\\[5pt]~~~p&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これより、
焦点 \(\left(0~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)\) 、準線 \(y=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
これを \(y\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) 平行移動すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&2
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、焦点は \((0~,~2)\) 、準線は \(y=-1\) となる
この円が \(x\) 軸に接することより、中心 \({\rm P}\) と \(x\) 軸の距離が半径 \(r\) となるので、
\(r=|\, y \,|~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
円 \(x^2+(y-2)^2=1\) の中心を \({\rm C}\) とすると、\({\rm C}(0~,~2)\) 、半径は \(1\) となるので、
\(2\) つの円が外接することより、中心間の距離が半径の和と等しくなるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm CP}&=&r+1
\\[3pt]~~~\sqrt{\,x^2+(y-2)^2\,}&=&r+1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\sqrt{\,x^2+(y-2)^2\,}=|\, y \,|+1\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(y-2)^2&=&(|\, y \,|+1)^2
\\[3pt]~~~x^2+y^2-4y+4&=&y^2+2|\, y \,|+1
\\[3pt]~~~x^2-4y+3&=&2|\, y \,|~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(y{\small ~≧~}0\) のとき、\(|\, y \,|=y\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4y+3&=&2y
\\[3pt]~~~x^2+3&=&6y
\\[3pt]~~~x^2&=&6y-3\end{eqnarray}\)
このとき \(y=\displaystyle \frac{\,x^2+3\,}{\,6\,}{\small ~≧~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となるので、\(y{\small ~≧~}0\) を満たす
\(y \lt 0\) のとき、\(|\, y \,|=-y\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4y+3&=&-2y
\\[3pt]~~~x^2+3&=&2y
\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,x^2+3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
このとき \(y \gt 0\) となるので、\(y \lt 0\) を満たさず、この場合は起こらない
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&6y-3
\\[5pt]~~~x^2&=&6\left(y-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
条件を満たす点 \({\rm P}\) は \({\small [\,4\,]}\) 上にある
逆に、\({\small [\,4\,]}\) 上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は放物線 \(x^2=6\left(y-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\) となる
次に、\({\small [\,4\,]}\) は放物線 \(x^2=6y\) を \(y\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) 平行移動したものであるので、
まず、\(x^2=6y\) の焦点と準線を求めると、
放物線 \(x^2=4py\) の焦点は \((0~,~p)\) 、準線は \(y=-p\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~4p&=&6
\\[5pt]~~~p&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これより、
焦点 \(\left(0~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)\) 、準線 \(y=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
これを \(y\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) 平行移動すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&2
\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、焦点は \((0~,~2)\) 、準線は \(y=-1\) となる
問題アーカイブ14
問題アーカイブ14楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+y^2=1\) と直線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+k\) が異なる \(2\) つの共有点 \({\rm P}\) 、\({\rm Q}\) をもつとき、線分 \({\rm PQ}\) の中点 \({\rm R}\) の軌跡を求めよ。
東京書籍｜Standard数学C[702] p.111 Level Up 9
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\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+k\) を \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+y^2=1\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+k\right)^2&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^2+kx+k^2&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+kx+k^2-1&=&0\end{eqnarray}\)
両辺に \(2\) を掛けると、
\(x^2+2kx+2k^2-2=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(2\) 点 \({\rm P}\) 、\({\rm Q}\) の \(x\) 座標 \(x_1~,~x_2\) は \({\small [\,1\,]}\) の解となるので、
異なる \(2\) つの共有点をもつとき、\({\small [\,1\,]}\) の判別式を \(D\) とすると \(D \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&k^2-(2k^2-2)
\\[5pt]~~~&=&k^2-2k^2+2
\\[5pt]~~~&=&-k^2+2\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~-k^2+2&\gt&0
\\[3pt]~~~k^2-2&\lt&0
\\[3pt]~~~(k+\sqrt{\,2\,})(k-\sqrt{\,2\,})&\lt&0\end{eqnarray}\)
よって、
\(-\sqrt{\,2\,} \lt k \lt \sqrt{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
次に、\({\small [\,1\,]}\) の解が \(x_1~,~x_2\) であることより、解と係数の関係から、
\(x_1+x_2=-2k\)
線分 \({\rm PQ}\) の中点 \({\rm R}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,x_1+x_2\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2k\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-k\end{eqnarray}\)
また、点 \({\rm R}\) は直線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+k\) 上にあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-k)+k
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k+k
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k\end{eqnarray}\)
これより、
\(x=-k~,~y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k\)
\(k=-x\) を \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k\) に代入して \(k\) を消去すると、
\(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\)
また、\(k=-x\) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(-\sqrt{\,2\,} \lt -x \lt \sqrt{\,2\,}\)
各辺に \(-1\) を掛けると不等号の向きが変わるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,2\,} &\gt& x \gt -\sqrt{\,2\,}
\\[3pt]~~~-\sqrt{\,2\,} &\lt& x \lt \sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
条件を満たす点 \({\rm R}\) は、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\) の \(-\sqrt{\,2\,} \lt x \lt \sqrt{\,2\,}\) の部分にある
逆に、この部分上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\) の \(-\sqrt{\,2\,} \lt x \lt \sqrt{\,2\,}\) の部分となる
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+k\right)^2&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}x^2+kx+k^2&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x^2+kx+k^2-1&=&0\end{eqnarray}\)
両辺に \(2\) を掛けると、
\(x^2+2kx+2k^2-2=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(2\) 点 \({\rm P}\) 、\({\rm Q}\) の \(x\) 座標 \(x_1~,~x_2\) は \({\small [\,1\,]}\) の解となるので、
異なる \(2\) つの共有点をもつとき、\({\small [\,1\,]}\) の判別式を \(D\) とすると \(D \gt 0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}&=&k^2-(2k^2-2)
\\[5pt]~~~&=&k^2-2k^2+2
\\[5pt]~~~&=&-k^2+2\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~-k^2+2&\gt&0
\\[3pt]~~~k^2-2&\lt&0
\\[3pt]~~~(k+\sqrt{\,2\,})(k-\sqrt{\,2\,})&\lt&0\end{eqnarray}\)
よって、
\(-\sqrt{\,2\,} \lt k \lt \sqrt{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
次に、\({\small [\,1\,]}\) の解が \(x_1~,~x_2\) であることより、解と係数の関係から、
\(x_1+x_2=-2k\)
線分 \({\rm PQ}\) の中点 \({\rm R}\) を \((x~,~y)\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,x_1+x_2\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2k\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&-k\end{eqnarray}\)
また、点 \({\rm R}\) は直線 \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+k\) 上にあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot (-k)+k
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k+k
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k\end{eqnarray}\)
これより、
\(x=-k~,~y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k\)
\(k=-x\) を \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}k\) に代入して \(k\) を消去すると、
\(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\)
また、\(k=-x\) を \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(-\sqrt{\,2\,} \lt -x \lt \sqrt{\,2\,}\)
各辺に \(-1\) を掛けると不等号の向きが変わるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,2\,} &\gt& x \gt -\sqrt{\,2\,}
\\[3pt]~~~-\sqrt{\,2\,} &\lt& x \lt \sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
条件を満たす点 \({\rm R}\) は、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\) の \(-\sqrt{\,2\,} \lt x \lt \sqrt{\,2\,}\) の部分にある
逆に、この部分上の任意の点 \((x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x\) の \(-\sqrt{\,2\,} \lt x \lt \sqrt{\,2\,}\) の部分となる
