- 数学C｜２次曲線「直角双曲線の方程式」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜直角双曲線の方程式
２次曲線 08\(2\) 点 \((4~,~0)~,~\)\((-4~,~0)\) が焦点の直角双曲線の方程式は？また、\(2\) 点 \((0~,~3)~,~\)\((0~,~-3)\) が頂点の直角双曲線の方程式は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
直角双曲線の方程式
Point：直角双曲線の方程式
頂点 \((a~,~0)~,~\)\((-a~,~0)\) で、直交する \(2\) 本の漸近線 \(y=x~,~\)\(y=-x\) をもつ。
このような双曲線を「直角双曲線」という。
また、直角双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,b^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=-1\) は、
頂点が \((0~,~b)~,~\)\((0~,~-b)\) で、直交する \(2\) 本の漸近線 \(y=x~,~\)\(y=-x\) をもつ。
双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,a^2\,}=1\) は、
頂点 \((a~,~0)~,~\)\((-a~,~0)\) で、直交する \(2\) 本の漸近線 \(y=x~,~\)\(y=-x\) をもつ。
このような双曲線を「直角双曲線」という。
また、直角双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,b^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=-1\) は、
頂点が \((0~,~b)~,~\)\((0~,~-b)\) で、直交する \(2\) 本の漸近線 \(y=x~,~\)\(y=-x\) をもつ。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜直角双曲線の方程式
２次曲線 08\(2\) 点 \((4~,~0)~,~\)\((-4~,~0)\) が焦点の直角双曲線の方程式は？また、\(2\) 点 \((0~,~3)~,~\)\((0~,~-3)\) が頂点の直角双曲線の方程式は？
高校数学C｜２次曲線
焦点が \(x\) 軸上にあるので、この双曲線は
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,a^2\,}=1~~~(a \gt 0)\)
と表せる
\(c=4\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,a^2+a^2\,}&=&4
\\[3pt]~~~2a^2&=&16
\\[3pt]~~~a^2&=&8\end{eqnarray}\)
\(a \gt 0\) より、\(a=2\sqrt{\,2\,}\)
よって、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,(2\sqrt{\,2\,})^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,(2\sqrt{\,2\,})^2\,}=1\)
したがって、
双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}=1\) となる
頂点が \(y\) 軸上にあるので、この双曲線は
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,b^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=-1~~~(b \gt 0)\)
と表せる
頂点が \((0~,~3)~,~\)\((0~,~-3)\) より、\(b=3\)
よって、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,3^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3^2\,}=-1\)
したがって、
双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=-1\) となる
