- 数学C｜２次曲線「2次曲線と離心率」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜2次曲線と離心率
２次曲線 18点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離と \(y\) 軸からの距離の比が \(1:2\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の求め方は？また、距離の比が \(2:1\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
2次曲線と離心率
Point：2次曲線と離心率定点 \({\rm F}\) からの距離と、\({\rm F}\) を通らない定直線 \(\ell\) からの距離の比が \(e:1\) である点 \({\rm P}\) の軌跡は、
\(\small [\,1\,]\) \(0 \lt e \lt 1\) のとき、
\({\rm F}\) を焦点の \(1\) つとする楕円になる。
\(\small [\,2\,]\) \(e=1\) のとき、
\({\rm F}\) を焦点、\(\ell\) を準線とする放物線になる。
\(\small [\,3\,]\) \(e \gt 1\) のとき、
\({\rm F}\) を焦点の \(1\) つとする双曲線になる。
この \(e\) の値を \(2\) 次曲線の「離心率」といい、直線 \(\ell\) を「準線」という。
※ \(e\) が \(0\) に近いほど、点 \({\rm P}\) の軌跡は円に近づく。
\(\small [\,1\,]\) \(0 \lt e \lt 1\) のとき、
\({\rm F}\) を焦点の \(1\) つとする楕円になる。
\(\small [\,2\,]\) \(e=1\) のとき、
\({\rm F}\) を焦点、\(\ell\) を準線とする放物線になる。
\(\small [\,3\,]\) \(e \gt 1\) のとき、
\({\rm F}\) を焦点の \(1\) つとする双曲線になる。
この \(e\) の値を \(2\) 次曲線の「離心率」といい、直線 \(\ell\) を「準線」という。
※ \(e\) が \(0\) に近いほど、点 \({\rm P}\) の軌跡は円に近づく。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜2次曲線と離心率
２次曲線 18点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離と \(y\) 軸からの距離の比が \(1:2\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の求め方は？また、距離の比が \(2:1\) である点 \({\rm P}\) の軌跡の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-3)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から \(y\) 軸に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
\(y\) 軸上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\rm PF}:{\rm PH}=1:2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2{\rm PF}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~4{\rm PF}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left\{\,(x-3)^2+y^2\,\right\}&=&x^2
\\[3pt]~~~4(x^2-6x+9)-x^2+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~4x^2-x^2-24x+36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-24x+36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-8x)+36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-8x+16-16)+36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-8x+16)-48+36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x-4)^2+4y^2&=&12\end{eqnarray}\)
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x-4)^2\,}{\,12\,}+\displaystyle \frac{\,4y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-4)^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの楕円 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの楕円上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(4\) だけ平行移動した楕円となる
距離の比が \(2:1\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-3)^2+y^2&=&4x^2
\\[3pt]~~~x^2-6x+9+y^2-4x^2&=&0
\\[3pt]~~~-3x^2-6x+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+2x)+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+2x+1-1)+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+2x+1)+3+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x+1)^2+y^2&=&-12
\\[3pt]~~~3(x+1)^2-y^2&=&12\end{eqnarray}\)
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x+1)^2\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,4\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(-1\) だけ平行移動した双曲線となる
