このページは、「2次曲線と離心率」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
2次曲線と離心率 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01点 \({\rm F}(4~,~0)\) からの距離と、直線 \(x=1\) からの距離の比が \(2:1\) である点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線であることを示せ。また、点 \({\rm F}(4~,~0)\) は、その双曲線の焦点の \(1\) つであることを確かめよ。
数研出版｜数学C[708] p.141 問6
▼ クリックして「より詳しい解説」を開く
点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(4~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-4)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=1\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=1\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x-1 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
距離の比が \(2:1\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3x^2\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,4+12\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16\,}
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、焦点の座標は \((4~,~0)\) 、\((-4~,~0)\) となるので、
したがって、点 \({\rm F}(4~,~0)\) は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) の焦点の \(1\) つである
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(4~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-4)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=1\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=1\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x-1 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
距離の比が \(2:1\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-4)^2+y^2&=&4(x-1)^2
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2&=&4(x^2-2x+1)
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2&=&4x^2-8x+4
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2-4x^2+8x-4&=&0
\\[3pt]~~~-3x^2+12+y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-y^2&=&12\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2&=&4(x^2-2x+1)
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2&=&4x^2-8x+4
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2-4x^2+8x-4&=&0
\\[3pt]~~~-3x^2+12+y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-y^2&=&12\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3x^2\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) となる
双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) の焦点の \(x\) 座標を \(c~(c\gt 0)\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,4+12\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16\,}
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、焦点の座標は \((4~,~0)\) 、\((-4~,~0)\) となるので、
したがって、点 \({\rm F}(4~,~0)\) は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) の焦点の \(1\) つである
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離と、直線 \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) からの距離の比が \(3:1\) である点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
数研出版｜数学C[708] p.141 練習22
▼ クリックして「より詳しい解説」を開く
点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-3)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=\left|\,x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
距離の比が \(3:1\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=3:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&3{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&9{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
両辺を \(8\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,8x^2\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~x^2-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(x^2-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}=1\) となる
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-3)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=\left|\,x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\,\right|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
距離の比が \(3:1\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=3:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&3{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&9{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-3)^2+y^2&=&9\left(x-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2
\\[5pt]~~~x^2-6x+9+y^2&=&9\left(x^2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\right)
\\[5pt]~~~x^2-6x+9+y^2&=&9x^2-6x+1
\\[3pt]~~~x^2-6x+9+y^2-9x^2+6x-1&=&0
\\[3pt]~~~-8x^2+8+y^2&=&0
\\[3pt]~~~8x^2-y^2&=&8\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~x^2-6x+9+y^2&=&9\left(x^2-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\right)
\\[5pt]~~~x^2-6x+9+y^2&=&9x^2-6x+1
\\[3pt]~~~x^2-6x+9+y^2-9x^2+6x-1&=&0
\\[3pt]~~~-8x^2+8+y^2&=&0
\\[3pt]~~~8x^2-y^2&=&8\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(8\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,8x^2\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~x^2-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(x^2-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}=1\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03次の軌跡を求めよ。
\({\small (4)}~\)原点 \({\rm O}\) と直線 \(x=2\) からの距離の比が \(\sqrt{\,2\,}:1\) である点の軌跡
\({\small (4)}~\)原点 \({\rm O}\) と直線 \(x=2\) からの距離の比が \(\sqrt{\,2\,}:1\) である点の軌跡
数研出版｜数学C[708] p.142 問題 3(4)
▼ クリックして「より詳しい解説」を開く
点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) と原点 \({\rm O}\) からの距離 \({\rm PO}\) は、
\({\rm PO}=\sqrt{\,x^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=2\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=2\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x-2 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
距離の比が \(\sqrt{\,2\,}:1\) のとき、\({\rm PO}:{\rm PH}=\sqrt{\,2\,}:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PO}&=&\sqrt{\,2\,}{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PO}^2&=&2{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
両辺を \(8\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,(x-4)^2\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-4)^2\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(4\) だけ平行移動した双曲線となる
点 \({\rm P}\) と原点 \({\rm O}\) からの距離 \({\rm PO}\) は、
\({\rm PO}=\sqrt{\,x^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=2\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=2\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x-2 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
距離の比が \(\sqrt{\,2\,}:1\) のとき、\({\rm PO}:{\rm PH}=\sqrt{\,2\,}:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PO}&=&\sqrt{\,2\,}{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PO}^2&=&2{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&2(x-2)^2
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&2(x^2-4x+4)
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&2x^2-8x+8
\\[3pt]~~~x^2+y^2-2x^2+8x-8&=&0
\\[3pt]~~~-x^2+8x-8+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-(x^2-8x)-8+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-(x^2-8x+16-16)-8+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-(x^2-8x+16)+16-8+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-(x-4)^2+8+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-(x-4)^2+y^2&=&-8
\\[3pt]~~~(x-4)^2-y^2&=&8\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&2(x^2-4x+4)
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&2x^2-8x+8
\\[3pt]~~~x^2+y^2-2x^2+8x-8&=&0
\\[3pt]~~~-x^2+8x-8+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-(x^2-8x)-8+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-(x^2-8x+16-16)-8+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-(x^2-8x+16)+16-8+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-(x-4)^2+8+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-(x-4)^2+y^2&=&-8
\\[3pt]~~~(x-4)^2-y^2&=&8\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(8\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,(x-4)^2\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-4)^2\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,8\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(4\) だけ平行移動した双曲線となる
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04点 \({\rm F}(4~,~0)\) からの距離と、直線 \(x=1\) からの距離の比が \(2:1\) である点 \({\rm P}\) の軌跡は、\({\rm F}\) を焦点の \(1\) つとする双曲線であることを示せ。
数研出版｜高等学校数学C[709] p.127 練習18
▼ クリックして「より詳しい解説」を開く
点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(4~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-4)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=1\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=1\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x-1 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
距離の比が \(2:1\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3x^2\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,4+12\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16\,}
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、焦点の座標は \((4~,~0)\) 、\((-4~,~0)\) となるので、
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、点 \({\rm F}(4~,~0)\) を焦点の \(1\) つとする双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) となる
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(4~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-4)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=1\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=1\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x-1 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
距離の比が \(2:1\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-4)^2+y^2&=&4(x-1)^2
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2&=&4(x^2-2x+1)
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2&=&4x^2-8x+4
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2-4x^2+8x-4&=&0
\\[3pt]~~~-3x^2+12+y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-y^2&=&12\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2&=&4(x^2-2x+1)
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2&=&4x^2-8x+4
\\[3pt]~~~x^2-8x+16+y^2-4x^2+8x-4&=&0
\\[3pt]~~~-3x^2+12+y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-y^2&=&12\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3x^2\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) となる
双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) の焦点の \(x\) 座標を \(c~(c\gt 0)\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,4+12\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16\,}
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、焦点の座標は \((4~,~0)\) 、\((-4~,~0)\) となるので、
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、点 \({\rm F}(4~,~0)\) を焦点の \(1\) つとする双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) となる
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05原点 \({\rm O}\) からの距離と、直線 \(x=3\) からの距離の比が一定で \(e:1\) である点 \({\rm P}\) について、\(e\) が次の値のときの軌跡を求めよ。
\({\small (1)}~e=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~e=1\) \({\small (3)}~e=2\)
\({\small (1)}~e=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~e=1\) \({\small (3)}~e=2\)
数研出版｜高等学校数学C[709] p.128 問題 6
▼ クリックして「より詳しい解説」を開く
点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) と原点 \({\rm O}\) からの距離 \({\rm PO}\) は、
\({\rm PO}=\sqrt{\,x^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=3\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=3\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x-3 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(\begin{eqnarray}~~~2{\rm PO}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~4{\rm PO}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x+1)^2\,}{\,12\,}+\displaystyle \frac{\,4y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの楕円 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの楕円上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(-1\) だけ平行移動した楕円となる
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PO}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PO}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&(x-3)^2
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&x^2-6x+9
\\[3pt]~~~y^2&=&-6x+9\end{eqnarray}\)
右辺を \(-6\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&-6\left(x-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの放物線 \({\small [\,4\,]}\) 上にあり、逆にこの放物線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、放物線 \(y^2=-6x\) を \(x\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) だけ平行移動した放物線となる
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PO}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PO}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x-4)^2\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-4)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,5\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(4\) だけ平行移動した双曲線となる
点 \({\rm P}\) と原点 \({\rm O}\) からの距離 \({\rm PO}\) は、
\({\rm PO}=\sqrt{\,x^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=3\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=3\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x-3 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small (1)}~e=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、\({\rm PO}:{\rm PH}=1:2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2{\rm PO}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~4{\rm PO}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4(x^2+y^2)&=&(x-3)^2
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2&=&x^2-6x+9
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2-x^2+6x-9&=&0
\\[3pt]~~~3x^2+6x-9+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2+2x)-9+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2+2x+1-1)-9+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2+2x+1)-3-9+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x+1)^2+4y^2&=&12\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2&=&x^2-6x+9
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2-x^2+6x-9&=&0
\\[3pt]~~~3x^2+6x-9+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2+2x)-9+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2+2x+1-1)-9+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2+2x+1)-3-9+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x+1)^2+4y^2&=&12\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x+1)^2\,}{\,12\,}+\displaystyle \frac{\,4y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの楕円 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの楕円上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(-1\) だけ平行移動した楕円となる
\({\small (2)}~e=1\) のとき、\({\rm PO}:{\rm PH}=1:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PO}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PO}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&(x-3)^2
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&x^2-6x+9
\\[3pt]~~~y^2&=&-6x+9\end{eqnarray}\)
右辺を \(-6\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&-6\left(x-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの放物線 \({\small [\,4\,]}\) 上にあり、逆にこの放物線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、放物線 \(y^2=-6x\) を \(x\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) だけ平行移動した放物線となる
\({\small (3)}~e=2\) のとき、\({\rm PO}:{\rm PH}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PO}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PO}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&4(x-3)^2
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&4(x^2-6x+9)
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&4x^2-24x+36
\\[3pt]~~~x^2+y^2-4x^2+24x-36&=&0
\\[3pt]~~~-3x^2+24x-36+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2-8x)-36+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2-8x+16-16)-36+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2-8x+16)+48-36+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x-4)^2+12+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x-4)^2+y^2&=&-12
\\[3pt]~~~3(x-4)^2-y^2&=&12\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&4(x^2-6x+9)
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&4x^2-24x+36
\\[3pt]~~~x^2+y^2-4x^2+24x-36&=&0
\\[3pt]~~~-3x^2+24x-36+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2-8x)-36+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2-8x+16-16)-36+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2-8x+16)+48-36+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x-4)^2+12+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x-4)^2+y^2&=&-12
\\[3pt]~~~3(x-4)^2-y^2&=&12\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x-4)^2\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-4)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,5\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(4\) だけ平行移動した双曲線となる
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06点 \({\rm P}(x~,~y)\) について、定点 \({\rm F}(6~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) と \(y\) 軸からの距離 \({\rm PH}\) の比の値を \(e=\displaystyle \frac{\,{\rm PF}\,}{\,{\rm PH}\,}\) とおく。次の場合の点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
\({\small (1)}~e=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~e=1\)
\({\small (1)}~e=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~e=1\)
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.94 問20
▼ クリックして「より詳しい解説」を開く
点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(6~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-6)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から \(y\) 軸に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
\(y\) 軸上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(\begin{eqnarray}~~~2{\rm PF}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~4{\rm PF}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
両辺を \(48\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x-8)^2\,}{\,48\,}+\displaystyle \frac{\,4y^2\,}{\,48\,}&=&\displaystyle \frac{\,48\,}{\,48\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-8)^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの楕円 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの楕円上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(8\) だけ平行移動した楕円となる
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-6)^2+y^2&=&x^2
\\[3pt]~~~x^2-12x+36+y^2&=&x^2
\\[3pt]~~~y^2&=&12x-36\end{eqnarray}\)
右辺を \(12\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&12(x-3)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの放物線 \({\small [\,4\,]}\) 上にあり、逆にこの放物線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、放物線 \(y^2=12x\) を \(x\) 軸方向に \(3\) だけ平行移動した放物線となる
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(6~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-6)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から \(y\) 軸に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
\(y\) 軸上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small (1)}~e=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=1:2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2{\rm PF}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~4{\rm PF}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left\{\,(x-6)^2+y^2\,\right\}&=&x^2
\\[3pt]~~~4(x^2-12x+36)-x^2+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~4x^2-x^2-48x+144+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-48x+144+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-16x)+144+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-16x+64-64)+144+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-16x+64)-192+144+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x-8)^2+4y^2&=&48\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~4(x^2-12x+36)-x^2+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~4x^2-x^2-48x+144+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-48x+144+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-16x)+144+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-16x+64-64)+144+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-16x+64)-192+144+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x-8)^2+4y^2&=&48\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(48\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x-8)^2\,}{\,48\,}+\displaystyle \frac{\,4y^2\,}{\,48\,}&=&\displaystyle \frac{\,48\,}{\,48\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-8)^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの楕円 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの楕円上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(8\) だけ平行移動した楕円となる
\({\small (2)}~e=1\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=1:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-6)^2+y^2&=&x^2
\\[3pt]~~~x^2-12x+36+y^2&=&x^2
\\[3pt]~~~y^2&=&12x-36\end{eqnarray}\)
右辺を \(12\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&12(x-3)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの放物線 \({\small [\,4\,]}\) 上にあり、逆にこの放物線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、放物線 \(y^2=12x\) を \(x\) 軸方向に \(3\) だけ平行移動した放物線となる
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07点 \((0~,~1)\) からの距離と直線 \(y=4\) からの距離の比の値が \(2\) である点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.95 問21
▼ クリックして「より詳しい解説」を開く
点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(0~,~1)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,x^2+(y-1)^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(y=4\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(y=4\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, y-4 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
距離の比の値が \(2\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(y-5)^2\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(y-5)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,12\,}=1\) を \(y\) 軸方向に \(5\) だけ平行移動した双曲線となる
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(0~,~1)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,x^2+(y-1)^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(y=4\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(y=4\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, y-4 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
距離の比の値が \(2\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(y-1)^2&=&4(y-4)^2
\\[3pt]~~~x^2+y^2-2y+1&=&4(y^2-8y+16)
\\[3pt]~~~x^2+y^2-2y+1&=&4y^2-32y+64
\\[3pt]~~~x^2+y^2-2y+1-4y^2+32y-64&=&0
\\[3pt]~~~x^2-3y^2+30y-63&=&0
\\[3pt]~~~x^2-3(y^2-10y)-63&=&0
\\[3pt]~~~x^2-3(y^2-10y+25-25)-63&=&0
\\[3pt]~~~x^2-3(y^2-10y+25)+75-63&=&0
\\[3pt]~~~x^2-3(y-5)^2+12&=&0
\\[3pt]~~~x^2-3(y-5)^2&=&-12
\\[3pt]~~~3(y-5)^2-x^2&=&12\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2+y^2-2y+1&=&4(y^2-8y+16)
\\[3pt]~~~x^2+y^2-2y+1&=&4y^2-32y+64
\\[3pt]~~~x^2+y^2-2y+1-4y^2+32y-64&=&0
\\[3pt]~~~x^2-3y^2+30y-63&=&0
\\[3pt]~~~x^2-3(y^2-10y)-63&=&0
\\[3pt]~~~x^2-3(y^2-10y+25-25)-63&=&0
\\[3pt]~~~x^2-3(y^2-10y+25)+75-63&=&0
\\[3pt]~~~x^2-3(y-5)^2+12&=&0
\\[3pt]~~~x^2-3(y-5)^2&=&-12
\\[3pt]~~~3(y-5)^2-x^2&=&12\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(y-5)^2\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(y-5)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,12\,}=1\) を \(y\) 軸方向に \(5\) だけ平行移動した双曲線となる
問題アーカイブ08
問題アーカイブ08原点を \({\rm O}\) とし、点 \({\rm P}\) から直線 \(x=-6\) に下ろした垂線を \({\rm PH}\) とする。\({\rm OP}:{\rm PH}\) が次のときの点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
\({\small (1)}~1:2\) \({\small (2)}~1:1\) \({\small (3)}~2:1\)
\({\small (1)}~1:2\) \({\small (2)}~1:1\) \({\small (3)}~2:1\)
東京書籍｜Advanced数学C[701] p.115 練習問題B 7
▼ クリックして「より詳しい解説」を開く
点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) と原点 \({\rm O}\) からの距離 \({\rm OP}\) は、
\({\rm OP}=\sqrt{\,x^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=-6\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=-6\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x+6 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(\begin{eqnarray}~~~2{\rm OP}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~4{\rm OP}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
両辺を \(48\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x-2)^2\,}{\,48\,}+\displaystyle \frac{\,4y^2\,}{\,48\,}&=&\displaystyle \frac{\,48\,}{\,48\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-2)^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの楕円 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの楕円上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(2\) だけ平行移動した楕円となる
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OP}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm OP}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&(x+6)^2
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&x^2+12x+36
\\[3pt]~~~y^2&=&12x+36\end{eqnarray}\)
右辺を \(12\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&12(x+3)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの放物線 \({\small [\,4\,]}\) 上にあり、逆にこの放物線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、放物線 \(y^2=12x\) を \(x\) 軸方向に \(-3\) だけ平行移動した放物線となる
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OP}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm OP}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
両辺を \(48\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x+8)^2\,}{\,48\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,48\,}&=&\displaystyle \frac{\,48\,}{\,48\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x+8)^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,48\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,5\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,48\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(-8\) だけ平行移動した双曲線となる
点 \({\rm P}\) と原点 \({\rm O}\) からの距離 \({\rm OP}\) は、
\({\rm OP}=\sqrt{\,x^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=-6\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=-6\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x+6 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small (1)}~{\rm OP}:{\rm PH}=1:2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2{\rm OP}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~4{\rm OP}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4(x^2+y^2)&=&(x+6)^2
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2&=&x^2+12x+36
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2-x^2-12x-36&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-12x-36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-4x)-36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-4x+4-4)-36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-4x+4)-12-36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x-2)^2+4y^2&=&48\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2&=&x^2+12x+36
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2-x^2-12x-36&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-12x-36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-4x)-36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-4x+4-4)-36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x^2-4x+4)-12-36+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~3(x-2)^2+4y^2&=&48\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(48\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x-2)^2\,}{\,48\,}+\displaystyle \frac{\,4y^2\,}{\,48\,}&=&\displaystyle \frac{\,48\,}{\,48\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-2)^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの楕円 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの楕円上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(2\) だけ平行移動した楕円となる
\({\small (2)}~{\rm OP}:{\rm PH}=1:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OP}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm OP}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&(x+6)^2
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&x^2+12x+36
\\[3pt]~~~y^2&=&12x+36\end{eqnarray}\)
右辺を \(12\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&12(x+3)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの放物線 \({\small [\,4\,]}\) 上にあり、逆にこの放物線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、放物線 \(y^2=12x\) を \(x\) 軸方向に \(-3\) だけ平行移動した放物線となる
\({\small (3)}~{\rm OP}:{\rm PH}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OP}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm OP}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&4(x+6)^2
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&4(x^2+12x+36)
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&4x^2+48x+144
\\[3pt]~~~x^2+y^2-4x^2-48x-144&=&0
\\[3pt]~~~-3x^2-48x-144+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+16x)-144+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+16x+64-64)-144+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+16x+64)+192-144+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x+8)^2+48+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x+8)^2+y^2&=&-48
\\[3pt]~~~3(x+8)^2-y^2&=&48\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&4(x^2+12x+36)
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&4x^2+48x+144
\\[3pt]~~~x^2+y^2-4x^2-48x-144&=&0
\\[3pt]~~~-3x^2-48x-144+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+16x)-144+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+16x+64-64)-144+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+16x+64)+192-144+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x+8)^2+48+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x+8)^2+y^2&=&-48
\\[3pt]~~~3(x+8)^2-y^2&=&48\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(48\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x+8)^2\,}{\,48\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,48\,}&=&\displaystyle \frac{\,48\,}{\,48\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x+8)^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,48\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,5\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,48\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(-8\) だけ平行移動した双曲線となる
問題アーカイブ09
問題アーカイブ09点 \({\rm P}(x~,~y)\) について、定点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) と \(y\) 軸からの距離 \({\rm PH}\) の比の値を \(e=\displaystyle \frac{\,{\rm PF}\,}{\,{\rm PH}\,}\) とする。\(e=2\) のとき、点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
東京書籍｜Standard数学C[702] p.95 問16
▼ クリックして「より詳しい解説」を開く
点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-3)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から \(y\) 軸に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
\(y\) 軸上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(e=2\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-3)^2+y^2&=&4x^2
\\[3pt]~~~x^2-6x+9+y^2-4x^2&=&0
\\[3pt]~~~-3x^2-6x+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+2x)+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+2x+1-1)+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+2x+1)+3+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x+1)^2+y^2&=&-12
\\[3pt]~~~3(x+1)^2-y^2&=&12\end{eqnarray}\)
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x+1)^2\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(-1\) だけ平行移動した双曲線となる
点 \({\rm P}\) と点 \({\rm F}(3~,~0)\) からの距離 \({\rm PF}\) は、
\({\rm PF}=\sqrt{\,(x-3)^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から \(y\) 軸に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
\(y\) 軸上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(e=2\) のとき、\({\rm PF}:{\rm PH}=2:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PF}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm PF}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-3)^2+y^2&=&4x^2
\\[3pt]~~~x^2-6x+9+y^2-4x^2&=&0
\\[3pt]~~~-3x^2-6x+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+2x)+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+2x+1-1)+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x^2+2x+1)+3+9+y^2&=&0
\\[3pt]~~~-3(x+1)^2+y^2&=&-12
\\[3pt]~~~3(x+1)^2-y^2&=&12\end{eqnarray}\)
両辺を \(12\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3(x+1)^2\,}{\,12\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,12\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(-1\) だけ平行移動した双曲線となる
問題アーカイブ10
問題アーカイブ10原点を \({\rm O}\) とし、点 \({\rm P}\) から直線 \(x=-5\) へ引いた垂線を \({\rm PH}\) とする。\({\rm OP}:{\rm PH}\) が次のときの点 \({\rm P}\) の軌跡をそれぞれ求めよ。
\({\small (1)}~2:3\) \({\small (2)}~1:1\) \({\small (3)}~3:2\)
\({\small (1)}~2:3\) \({\small (2)}~1:1\) \({\small (3)}~3:2\)
東京書籍｜Standard数学C[702] p.110 Level Up 5
▼ クリックして「より詳しい解説」を開く
点 \({\rm P}\) を \((x~,~y)\) とおくと、
点 \({\rm P}\) と原点 \({\rm O}\) からの距離 \({\rm OP}\) は、
\({\rm OP}=\sqrt{\,x^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=-5\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=-5\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x+5 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\(\begin{eqnarray}~~~3{\rm OP}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~9{\rm OP}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
両辺を \(180\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5(x-4)^2\,}{\,180\,}+\displaystyle \frac{\,9y^2\,}{\,180\,}&=&\displaystyle \frac{\,180\,}{\,180\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-4)^2\,}{\,36\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,20\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの楕円 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの楕円上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,36\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,20\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(4\) だけ平行移動した楕円となる
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OP}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm OP}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&(x+5)^2
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&x^2+10x+25
\\[3pt]~~~y^2&=&10x+25\end{eqnarray}\)
右辺を \(10\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&10\left(x+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの放物線 \({\small [\,4\,]}\) 上にあり、逆にこの放物線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、放物線 \(y^2=10x\) を \(x\) 軸方向に \(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\) だけ平行移動した放物線となる
\(\begin{eqnarray}~~~2{\rm OP}&=&3{\rm PH}
\\[3pt]~~~4{\rm OP}^2&=&9{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
両辺を \(180\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5(x+9)^2\,}{\,180\,}-\displaystyle \frac{\,4y^2\,}{\,180\,}&=&\displaystyle \frac{\,180\,}{\,180\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x+9)^2\,}{\,36\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,45\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,5\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,36\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,45\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(-9\) だけ平行移動した双曲線となる
点 \({\rm P}\) と原点 \({\rm O}\) からの距離 \({\rm OP}\) は、
\({\rm OP}=\sqrt{\,x^2+y^2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) から直線 \(x=-5\) に下ろした垂線の足を \({\rm H}\) とすると、
直線 \(x=-5\) 上の点 \({\rm H}\) からの距離 \({\rm PH}\) は、
\({\rm PH}=|\, x+5 \,|~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\small (1)}~{\rm OP}:{\rm PH}=2:3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3{\rm OP}&=&2{\rm PH}
\\[3pt]~~~9{\rm OP}^2&=&4{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~9(x^2+y^2)&=&4(x+5)^2
\\[3pt]~~~9x^2+9y^2&=&4(x^2+10x+25)
\\[3pt]~~~9x^2+9y^2&=&4x^2+40x+100
\\[3pt]~~~9x^2+9y^2-4x^2-40x-100&=&0
\\[3pt]~~~5x^2-40x-100+9y^2&=&0
\\[3pt]~~~5(x^2-8x)-100+9y^2&=&0
\\[3pt]~~~5(x^2-8x+16-16)-100+9y^2&=&0
\\[3pt]~~~5(x^2-8x+16)-80-100+9y^2&=&0
\\[3pt]~~~5(x-4)^2+9y^2&=&180\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~9x^2+9y^2&=&4(x^2+10x+25)
\\[3pt]~~~9x^2+9y^2&=&4x^2+40x+100
\\[3pt]~~~9x^2+9y^2-4x^2-40x-100&=&0
\\[3pt]~~~5x^2-40x-100+9y^2&=&0
\\[3pt]~~~5(x^2-8x)-100+9y^2&=&0
\\[3pt]~~~5(x^2-8x+16-16)-100+9y^2&=&0
\\[3pt]~~~5(x^2-8x+16)-80-100+9y^2&=&0
\\[3pt]~~~5(x-4)^2+9y^2&=&180\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(180\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5(x-4)^2\,}{\,180\,}+\displaystyle \frac{\,9y^2\,}{\,180\,}&=&\displaystyle \frac{\,180\,}{\,180\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-4)^2\,}{\,36\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,20\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの楕円 \({\small [\,3\,]}\) 上にあり、逆にこの楕円上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,36\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,20\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(4\) だけ平行移動した楕円となる
\({\small (2)}~{\rm OP}:{\rm PH}=1:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm OP}&=&{\rm PH}
\\[3pt]~~~{\rm OP}^2&=&{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&(x+5)^2
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&x^2+10x+25
\\[3pt]~~~y^2&=&10x+25\end{eqnarray}\)
右辺を \(10\) でくくると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2&=&10\left(x+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの放物線 \({\small [\,4\,]}\) 上にあり、逆にこの放物線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、放物線 \(y^2=10x\) を \(x\) 軸方向に \(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\) だけ平行移動した放物線となる
\({\small (3)}~{\rm OP}:{\rm PH}=3:2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2{\rm OP}&=&3{\rm PH}
\\[3pt]~~~4{\rm OP}^2&=&9{\rm PH}^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4(x^2+y^2)&=&9(x+5)^2
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2&=&9(x^2+10x+25)
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2&=&9x^2+90x+225
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2-9x^2-90x-225&=&0
\\[3pt]~~~-5x^2-90x-225+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~-5(x^2+18x)-225+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~-5(x^2+18x+81-81)-225+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~-5(x^2+18x+81)+405-225+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~-5(x+9)^2+180+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~-5(x+9)^2+4y^2&=&-180
\\[3pt]~~~5(x+9)^2-4y^2&=&180\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2&=&9(x^2+10x+25)
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2&=&9x^2+90x+225
\\[3pt]~~~4x^2+4y^2-9x^2-90x-225&=&0
\\[3pt]~~~-5x^2-90x-225+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~-5(x^2+18x)-225+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~-5(x^2+18x+81-81)-225+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~-5(x^2+18x+81)+405-225+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~-5(x+9)^2+180+4y^2&=&0
\\[3pt]~~~-5(x+9)^2+4y^2&=&-180
\\[3pt]~~~5(x+9)^2-4y^2&=&180\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(180\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,5(x+9)^2\,}{\,180\,}-\displaystyle \frac{\,4y^2\,}{\,180\,}&=&\displaystyle \frac{\,180\,}{\,180\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x+9)^2\,}{\,36\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,45\,}&=&1~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
これより、条件を満たす点 \({\rm P}\) はこの双曲線 \({\small [\,5\,]}\) 上にあり、逆にこの双曲線上の点はすべて条件を満たす
したがって、点 \({\rm P}\) の軌跡は、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,36\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,45\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(-9\) だけ平行移動した双曲線となる
