- 数学C｜２次曲線「楕円・双曲線の接線の方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜楕円・双曲線の接線の方程式
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
楕円・双曲線の接線の方程式
■ 楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) 上の点 \((s~,~t)\) における接線の方程式は、
\(\displaystyle \frac{\,sx\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,ty\,}{\,b^2\,}=1\)
※ \(\displaystyle \frac{\,xx\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,yy\,}{\,b^2\,}=1\) として、一方の \(x~,~y\) に接点 \((s~,~t)\) を代入する。
■ 双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) 上の点 \((s~,~t)\) における接線の方程式は、
\(\displaystyle \frac{\,sx\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,ty\,}{\,b^2\,}=1\)
※ \(\displaystyle \frac{\,xx\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,yy\,}{\,b^2\,}=1\) として、一方の \(x~,~y\) に接点 \((s~,~t)\) を代入する。
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詳しい解説｜楕円・双曲線の接線の方程式
高校数学C｜２次曲線
楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,6\,}=1\) 上の点 \((\sqrt{\,3\,}~,~2)\) における接線の方程式は、
\(\displaystyle \frac{\,xx\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,yy\,}{\,6\,}=1\)
これより、一方の \(x~,~y\) に \((\sqrt{\,3\,}~,~2)\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}x\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,2y\,}{\,6\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}x\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,3\,}&=&1\end{eqnarray}\)
両辺に \(9\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}x\,}{\,9\,}{\, \small \times \,}9+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}9&=&1{\, \small \times \,}9
\\[5pt]~~~\sqrt{\,3\,}x+3y&=&9\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sqrt{\,3\,}x+3y=9\) となる
双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) 上の点 \((4~,~3\sqrt{\,3\,})\) における接線の方程式は、
\(\displaystyle \frac{\,xx\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,yy\,}{\,9\,}=1\)
これより、一方の \(x~,~y\) に \((4~,~3\sqrt{\,3\,})\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,4x\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,3\,}y\,}{\,9\,}&=&1
\\[5pt]~~~x-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}y\,}{\,3\,}&=&1\end{eqnarray}\)
両辺に \(3\) をかけると、
\(\begin{eqnarray}~~~x{\, \small \times \,}3-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}y\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}3&=&1{\, \small \times \,}3
\\[5pt]~~~3x-\sqrt{\,3\,}y&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\(3x-\sqrt{\,3\,}y=3\) となる
