- 数学C｜２次曲線「x,yの2次方程式と2次曲線」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜x,yの2次方程式と2次曲線
２次曲線 10方程式 \(9x^2+25y^2-18x+100y-116=0~,~\)\(9x^2-4y^2-18x-16y-43=0~,~\)\(y^2+4y-8x+12=0\) はどんな図形を表すか？また、グラフの概形は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
x,yの2次方程式と2次曲線
Point：x,yの2次方程式と2次曲線
\(9x^2+25y^2-18x+100y-116=0\)
① \(x~,~y\) それぞれの文字について平方完成する。
\(9(x-1)^2+25(y+2)^2=225\)
② 両辺を右辺の値で割って、2次曲線が平行移動した式の形にする。
\(\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,(y+2)^2\,}{\,9\,}=1\)
\(x~,~y\) の \(2\) 次方程式は、
\(9x^2+25y^2-18x+100y-116=0\)
① \(x~,~y\) それぞれの文字について平方完成する。
\(9(x-1)^2+25(y+2)^2=225\)
② 両辺を右辺の値で割って、2次曲線が平行移動した式の形にする。
\(\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,(y+2)^2\,}{\,9\,}=1\)
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜x,yの2次方程式と2次曲線
２次曲線 10方程式 \(9x^2+25y^2-18x+100y-116=0~,~\)\(9x^2-4y^2-18x-16y-43=0~,~\)\(y^2+4y-8x+12=0\) はどんな図形を表すか？また、グラフの概形は？
高校数学C｜２次曲線
\(9x^2+25y^2-18x+100y-116=0\) について、
\(x\) と \(y\) それぞれの文字で平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(9x^2-18x)+(25y^2+100y)&=&116
\\[3pt]~~~9(x^2-2x)+25(y^2+4y)&=&116
\\[3pt]~~~9(x^2-2x+1-1)+25(y^2+4y+4-4)&=&116
\\[3pt]~~~9(x^2-2x+1)-9+25(y^2+4y+4)-100&=&116
\\[3pt]~~~9(x-1)^2+25(y+2)^2&=&116+9+100
\\[3pt]~~~9(x-1)^2+25(y+2)^2&=&225\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~9(x^2-2x)+25(y^2+4y)&=&116
\\[3pt]~~~9(x^2-2x+1-1)+25(y^2+4y+4-4)&=&116
\\[3pt]~~~9(x^2-2x+1)-9+25(y^2+4y+4)-100&=&116
\\[3pt]~~~9(x-1)^2+25(y+2)^2&=&116+9+100
\\[3pt]~~~9(x-1)^2+25(y+2)^2&=&225\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(225\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,9(x-1)^2\,}{\,225\,}+\displaystyle \frac{\,25(y+2)^2\,}{\,225\,}&=&\displaystyle \frac{\,225\,}{\,225\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,(y+2)^2\,}{\,9\,}&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(+1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) だけ平行移動した楕円となる
\(9x^2-4y^2-18x-16y-43=0\) について、
\(x\) と \(y\) それぞれの文字で平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(9x^2-18x)-(4y^2+16y)&=&43
\\[3pt]~~~9(x^2-2x)-4(y^2+4y)&=&43
\\[3pt]~~~9(x^2-2x+1-1)-4(y^2+4y+4-4)&=&43
\\[3pt]~~~9(x^2-2x+1)-9-4(y^2+4y+4)+16&=&43
\\[3pt]~~~9(x-1)^2-4(y+2)^2&=&43+9-16
\\[3pt]~~~9(x-1)^2-4(y+2)^2&=&36\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~9(x^2-2x)-4(y^2+4y)&=&43
\\[3pt]~~~9(x^2-2x+1-1)-4(y^2+4y+4-4)&=&43
\\[3pt]~~~9(x^2-2x+1)-9-4(y^2+4y+4)+16&=&43
\\[3pt]~~~9(x-1)^2-4(y+2)^2&=&43+9-16
\\[3pt]~~~9(x-1)^2-4(y+2)^2&=&36\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
両辺を \(36\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,9(x-1)^2\,}{\,36\,}-\displaystyle \frac{\,4(y+2)^2\,}{\,36\,}&=&\displaystyle \frac{\,36\,}{\,36\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,(y+2)^2\,}{\,9\,}&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(+1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) だけ平行移動した双曲線となる
\(y^2+4y-8x+12=0\) について、
\(y\) について平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y^2+4y&=&8x-12
\\[3pt]~~~(y^2+4y+4)-4&=&8x-12
\\[3pt]~~~(y+2)^2&=&8x-12+4
\\[3pt]~~~(y+2)^2&=&8x-8
\\[3pt]~~~(y+2)^2&=&8(x-1)\end{eqnarray}\)
したがって、
放物線 \(y^2=8x\) を \(x\) 軸方向に \(+1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) だけ平行移動した放物線となる
