- 数学C｜２次曲線「楕円の方程式の決定」の基本例題解説ページです。
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問題｜楕円の方程式の決定
２次曲線 04\(2\) 点 \((\sqrt{\,5\,}~,~0)~,~\)\((-\sqrt{\,5\,}~,~0)\) を焦点、焦点からの距離の和が \(6\) である楕円の方程式の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
楕円の方程式の決定
Point：楕円の方程式の決定
① 楕円の方程式を \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) とし、焦点の位置から \(a\) と \(b\) の大小を決める。
焦点が \(x\) 軸上より、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1~~~(a \gt b \gt 0)\)
② 焦点の座標の条件と焦点からの距離の和の条件を式にする。
焦点が \(x\) 軸上より、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
c=\sqrt{\,a^2-b^2\,}=\sqrt{\,5\,} \\[5pt] 2a=6
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
③ \(2\) つの式を連立して \(a~,~b\) の値を求め、楕円の方程式を決定する。
焦点の座標と焦点からの距離の和の条件から楕円の方程式を求める方法は、
① 楕円の方程式を \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) とし、焦点の位置から \(a\) と \(b\) の大小を決める。
焦点が \(x\) 軸上より、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1~~~(a \gt b \gt 0)\)
② 焦点の座標の条件と焦点からの距離の和の条件を式にする。
焦点が \(x\) 軸上より、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
c=\sqrt{\,a^2-b^2\,}=\sqrt{\,5\,} \\[5pt] 2a=6
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
③ \(2\) つの式を連立して \(a~,~b\) の値を求め、楕円の方程式を決定する。
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詳しい解説｜楕円の方程式の決定
２次曲線 04\(2\) 点 \((\sqrt{\,5\,}~,~0)~,~\)\((-\sqrt{\,5\,}~,~0)\) を焦点、焦点からの距離の和が \(6\) である楕円の方程式の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
この楕円の方程式を
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\)
とすると、
焦点が \(x\) 軸上より、\(a \gt b \gt 0\)
よって、\(c=\sqrt{\,5\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,a^2-b^2\,}=\sqrt{\,5\,}
\\[3pt]~~~a^2-b^2&=&5~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、焦点からの距離の和が \(6\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2a&=&6
\\[3pt]~~~a&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3^2-b^2&=&5
\\[3pt]~~~9-b^2&=&5
\\[3pt]~~~-b^2&=&-4
\\[3pt]~~~b^2&=&4\end{eqnarray}\)
\(b \gt 0\) より、\(b=2\)
よって、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,3^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,2^2\,}=1\)
したがって、楕円の方程式は、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) となる
