- 数学C｜２次曲線「媒介変数表示の曲線の概形」の基本例題解説ページです。
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問題｜媒介変数表示の曲線の概形
２次曲線 21\(x=\sqrt{\,t\,}~,~\)\(y=t+3\) で表される点 \({\rm P}(x~,~y)\) はどのような曲線を描くか？また、\(t\gt 0\) のときの \(x=t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}~,~\)\(y=t^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t^2\,}\) の曲線は？さらに、\(x=\cos \theta~,~\)\(y=\sin^2 \theta\) のときは？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
媒介変数表示の曲線の概形
Point：媒介変数表示の曲線の概形
\(x=f(t)~,~y=g(t)\)
と表されるとき、これを曲線の「媒介変数表示」といい、\(t\) を「媒介変数」という。
媒介変数 \(t\) を消去して、\(x~,~y\) だけの式にすると、どのような曲線かがわかる。
ただし、変数 \(x~,~y\) の値の取り得る範囲に注意する。
※ \(\sqrt{\,t\,}{\small ~≧~}0\) より、\(x{\small ~≧~}0\)
平面上の曲線が、\(1\) つの変数 \(t\) を用いて
\(x=f(t)~,~y=g(t)\)
と表されるとき、これを曲線の「媒介変数表示」といい、\(t\) を「媒介変数」という。
媒介変数 \(t\) を消去して、\(x~,~y\) だけの式にすると、どのような曲線かがわかる。
ただし、変数 \(x~,~y\) の値の取り得る範囲に注意する。
※ \(\sqrt{\,t\,}{\small ~≧~}0\) より、\(x{\small ~≧~}0\)
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詳しい解説｜媒介変数表示の曲線の概形
２次曲線 21\(x=\sqrt{\,t\,}~,~\)\(y=t+3\) で表される点 \({\rm P}(x~,~y)\) はどのような曲線を描くか？また、\(t\gt 0\) のときの \(x=t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}~,~\)\(y=t^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t^2\,}\) の曲線は？さらに、\(x=\cos \theta~,~\)\(y=\sin^2 \theta\) のときは？
高校数学C｜２次曲線
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=\sqrt{\,t\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\
y=t+3~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\sqrt{\,t\,}{\small ~≧~}0\) より、\(x{\small ~≧~}0\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,t\,}&=&x
\\[3pt]~~~t&=&x^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(y=x^2+3\)
したがって、放物線 \(y=x^2+3\) の \(x{\small ~≧~}0\) の部分となる
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\[5pt]
y=t^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t^2\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、\(t\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\gt 0\) であるので、相加平均と相乗平均の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~x=t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}{\small ~≧~}2\sqrt{\,t \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\,}=2\end{eqnarray}\)
よって、\(x{\small ~≧~}2\) となる
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&t^2+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\right)^2-2t \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}
\\[5pt]~~~&=&\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,t\,}\right)^2-2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(y=x^2-2\)
したがって、放物線 \(y=x^2-2\) の \(x{\small ~≧~}2\) の部分となる
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=\cos \theta~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\
y=\sin^2 \theta~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、\(-1{\small ~≦~}\cos \theta{\small ~≦~}1\) であるので、
\(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\)
また、\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\sin^2 \theta
\\[3pt]~~~&=&1-\cos^2 \theta\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(y=1-x^2\)
したがって、放物線 \(y=-x^2+1\) の \(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}1\) の部分となる
