- 数学C｜２次曲線「媒介変数表示の点の軌跡」の基本例題解説ページです。
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問題｜媒介変数表示の点の軌跡
２次曲線 22放物線 \(y=-x^2+2tx+2\) の頂点は \(t\) の値が変化するとき、どのような曲線を描くか？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
媒介変数表示の点の軌跡
Point：媒介変数表示の点の軌跡放物線の頂点の軌跡は、
① 文字を係数にもつ放物線の式を平方完成して、頂点の座標を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-x^2+2tx+2
\\[3pt]~~~&=&-(x-t)^2+t^2+2\end{eqnarray}\)
頂点 \((t~,~t^2+2)\)
② 頂点の \(x\) 座標を、\(t\) を媒介変数とした式で表し、媒介変数 \(t\) を消去して曲線を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=t\\
y=t^2+2
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(\Leftrightarrow ~\) \(y=x^2+2\)
① 文字を係数にもつ放物線の式を平方完成して、頂点の座標を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-x^2+2tx+2
\\[3pt]~~~&=&-(x-t)^2+t^2+2\end{eqnarray}\)
頂点 \((t~,~t^2+2)\)
② 頂点の \(x\) 座標を、\(t\) を媒介変数とした式で表し、媒介変数 \(t\) を消去して曲線を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=t\\
y=t^2+2
\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(\Leftrightarrow ~\) \(y=x^2+2\)
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詳しい解説｜媒介変数表示の点の軌跡
２次曲線 22放物線 \(y=-x^2+2tx+2\) の頂点は \(t\) の値が変化するとき、どのような曲線を描くか？
高校数学C｜２次曲線
\(y=-x^2+2tx+2\) を平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-x^2+2tx+2
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-2tx)+2
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-2tx+t^2-t^2)+2
\\[3pt]~~~&=&-(x^2-2tx+t^2)+t^2+2
\\[3pt]~~~&=&-(x-t)^2+t^2+2\end{eqnarray}\)
これより、頂点 \((t~,~t^2+2)\) となる
ここで、頂点の \(x\) 座標は \(t\) となるので、\(t\) を媒介変数として
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=t~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\
y=t^2+2~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
と表される
よって、媒介変数 \(t\) を消去すると、\({\small [\,2\,]}\) に \({\small [\,1\,]}\) を代入して、
\(y=x^2+2\)
したがって、頂点は放物線 \(y=x^2+2\) 上を描く
