- 数学C｜２次曲線「円と楕円の関係」の基本例題解説ページです。
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問題｜円と楕円の関係
２次曲線 05円 \(x^2+y^2=9\) を \(x\) 軸をもとに \(y\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) 倍に縮小した曲線の求め方は？また、\(y\) 軸をもとに \(x\) 軸方向に \(2\) 倍に拡大した曲線の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
円と楕円の関係
Point：円と楕円の関係
① 円上の点を \({\rm Q}(s~,~t)\) 、拡大、縮小した点を \({\rm P}(x~,~y)\) とし、\(s~,~t\) と \(x~,~y\) の関係式を立てる。
\(x\) 軸をもとに \(y\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) 倍に縮小すると、
\(x=s~,~y=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}t\)\(~~\Leftrightarrow ~~s=x~,~t=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}y\)
② 点 \({\rm Q}(s~,~t)\) が円上にある条件に①を代入して、楕円の方程式を求める。
\(x^2+y^2=9\) より、\(s^2+t^2=9\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}y\right)^2&=&9
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}&=&1\end{eqnarray}\)
円を拡大・縮小してできる楕円は、
① 円上の点を \({\rm Q}(s~,~t)\) 、拡大、縮小した点を \({\rm P}(x~,~y)\) とし、\(s~,~t\) と \(x~,~y\) の関係式を立てる。
\(x\) 軸をもとに \(y\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) 倍に縮小すると、
\(x=s~,~y=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}t\)\(~~\Leftrightarrow ~~s=x~,~t=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}y\)
② 点 \({\rm Q}(s~,~t)\) が円上にある条件に①を代入して、楕円の方程式を求める。
\(x^2+y^2=9\) より、\(s^2+t^2=9\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}y\right)^2&=&9
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}&=&1\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜円と楕円の関係
２次曲線 05円 \(x^2+y^2=9\) を \(x\) 軸をもとに \(y\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) 倍に縮小した曲線の求め方は？また、\(y\) 軸をもとに \(x\) 軸方向に \(2\) 倍に拡大した曲線の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
円 \(x^2+y^2=9\) の点 \({\rm Q}(s~,~t)\) を縮小した曲線上の点 \({\rm P}(x~,~y)\) に移ったとすると、
\(x\) 座標はそのままで \(x=s\)
\(y\) 座標は \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) 倍されるので \(y=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}t\)
よって、
\(s=x~,~t=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}y~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、点 \({\rm Q}(s~,~t)\) は円 \(x^2+y^2=9\) 上の点より、
\(s^2+t^2=9\)
これより、\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}y\right)^2&=&9
\\[5pt]~~~x^2+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}y^2&=&9\end{eqnarray}\)
両辺を \(9\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\)
したがって、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) となる
円 \(x^2+y^2=9\) の点 \({\rm Q}(s~,~t)\) を拡大した曲線上の点 \({\rm P}(x~,~y)\) に移ったとすると、
\(x\) 座標は \(2\) 倍されるので \(x=2s\)
\(y\) 座標はそのままで \(y=t\)
よって、
\(s=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2\,}~,~t=y~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
また、点 \({\rm Q}(s~,~t)\) は円 \(x^2+y^2=9\) 上の点より、
\(s^2+t^2=9\)
これより、\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,2\,}\right)^2+y^2&=&9
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+y^2&=&9\end{eqnarray}\)
両辺を \(9\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,36\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\)
したがって、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,36\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) となる
