放物線y²=4px上の接線の方程式

接点 \((2~,~-4)\) における接線の傾きを \(m~(m \ne 0)\) とすると、

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\(\begin{eqnarray}~~~y-(-4)&=&m(x-2)
\\[3pt]~~~y&=&mx-2m-4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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放物線 \(y^2=8x\) を変形すると、\(x=\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&m \cdot \displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,8\,}-2m-4
\\[5pt]~~~8y&=&my^2-16m-32
\\[5pt]~~~0&=&my^2-8y-16m-32\end{eqnarray}\)

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よって、\(y\) の \(2\) 次方程式

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\(my^2-8y-16m-32=0\) が重解をもつので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-4)^2-m(-16m-32)&=&0
\\[3pt]~~~16+16m(m+2)&=&0
\\[3pt]~~~1+m^2+2m&=&0
\\[3pt]~~~(m+1)^2&=&0
\\[3pt]~~~m&=&-1\end{eqnarray}\)

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　\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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　\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-1 \cdot x-2 \cdot (-1)-4
\\[3pt]~~~&=&-x+2-4
\\[3pt]~~~&=&-x-2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(y=-x-2\) となる

 
 

【別解】

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\(y^2=4px\) 上の点 \((s~,~t)\) における接線の方程式は、

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　\(ty=2p(x+s)\)

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これより、\(y^2=8x=4\cdot 2x\) 上の点 \((2~,~-4)\) における接線の方程式は、

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\(\begin{eqnarray}~~~-4y&=&2 \cdot 2 \cdot (x+2)
\\[3pt]~~~-4y&=&4(x+2)
\\[3pt]~~~y&=&-(x+2)
\\[3pt]~~~y&=&-x-2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(y=-x-2\) となる