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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01放物線 \(y^2=4x\) 上の異なる \(2\) 点 \({\rm P}(x_1~,~y_1)\) 、\({\rm Q}(x_2~,~y_2)\) における接線の交点を \({\rm R}\) とし、線分 \({\rm PQ}\) の中点を \({\rm M}\) とする。このとき、直線 \({\rm RM}\) は、\(x\) 軸に平行であることを示せ。
数研出版｜数学C[708] p.137 練習21
[証明] 点 \({\rm P}\) 、\({\rm Q}\) はどちらも放物線 \(y^2=4x\) 上の点であるので、それぞれの座標を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~{y_1}^2&=&4x_1~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\[3pt]~~~{y_2}^2&=&4x_2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(y_1=y_2\) だとすると、\(2\) 点 \({\rm P}\) 、\({\rm Q}\) が一致してしまうので、\(y_1 \neq y_2\) となる
また、\(y^2=4x=4 \cdot 1 \cdot x\) 上の点 \({\rm P}(x_1~,~y_1)\) 、\({\rm Q}(x_2~,~y_2)\) における接線の方程式は、それぞれ
\(\begin{eqnarray}~~~y_1y&=&2(x+x_1)~~~\cdots {\small [\,3\,]}
\\[3pt]~~~y_2y&=&2(x+x_2)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
接線の交点 \({\rm R}\) の座標は、\({\small [\,3\,]}\) と \({\small [\,4\,]}\) を連立させると、
\({\small [\,3\,]}-{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y_1y-y_2y&=&2(x+x_1)-2(x+x_2)
\\[3pt]~~~(y_1-y_2)y&=&2x+2x_1-2x-2x_2
\\[3pt]~~~(y_1-y_2)y&=&2(x_1-x_2)\end{eqnarray}\)
\(y_1 \neq y_2\) より両辺を \(y_1-y_2\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2(x_1-x_2)\,}{\,y_1-y_2\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,x_1-x_2\,}{\,y_1-y_2\,}\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,1\,]}\) 、\({\small [\,2\,]}\) より、\(x_1=\displaystyle \frac{\,{y_1}^2\,}{\,4\,}~,~x_2=\displaystyle \frac{\,{y_2}^2\,}{\,4\,}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,{y_1}^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,{y_2}^2\,}{\,4\,}\,}{\,y_1-y_2\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{y_1}^2-{y_2}^2\,}{\,y_1-y_2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot \displaystyle \frac{\,(y_1+y_2)(y_1-y_2)\,}{\,y_1-y_2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,y_1+y_2\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、点 \({\rm R}\) の \(y\) 座標は \(\displaystyle \frac{\,y_1+y_2\,}{\,2\,}\) となる
ここで、中点の公式より、線分 \({\rm PQ}\) の中点 \({\rm M}\) の \(y\) 座標は、
\(\displaystyle \frac{\,y_1+y_2\,}{\,2\,}\)
したがって、点 \({\rm R}\) と点 \({\rm M}\) の \(y\) 座標が等しいので、直線 \({\rm RM}\) は \(x\) 軸に平行である [終]
