- 数学C｜２次曲線「双曲線の方程式の決定」の基本例題解説ページです。
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問題｜双曲線の方程式の決定
２次曲線 07\(2\) 点 \((\sqrt{\,13\,}~,~0)~,~\)\((-\sqrt{\,13\,}~,~0)\) を焦点、焦点からの距離の差が \(6\) である双曲線の方程式の求め方は？また、\(2\) 直線 \(y=2x~,~\)\(y=-2x\) を漸近線にもち、\(2\) 点 \((0~,~2\sqrt{\,5\,})~,~\)\((0~,~-2\sqrt{\,5\,})\) を焦点とする双曲線の方程式の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
双曲線の方程式の決定
Point：双曲線の方程式の決定
① 焦点が \(x\) 軸か \(y\) 軸かで双曲線の方程式を定める。
\({\small [\,1\,]}\) 焦点が \(x\) 軸上にあるとき、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\)
\({\small [\,2\,]}\) 焦点が \(y\) 軸上にあるとき、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=-1\)
② 焦点の座標の条件と焦点からの距離の差の条件を式にする。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
\sqrt{\,a^2+b^2\,}=\sqrt{\,13\,} \\[5pt] 2a=6
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
③ \(2\) つの式を連立して \(a~,~b\) の値を求め、双曲線の方程式を決定する。
焦点の座標と焦点からの距離の差の条件から双曲線の方程式を求める方法は、
① 焦点が \(x\) 軸か \(y\) 軸かで双曲線の方程式を定める。
\({\small [\,1\,]}\) 焦点が \(x\) 軸上にあるとき、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\)
\({\small [\,2\,]}\) 焦点が \(y\) 軸上にあるとき、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=-1\)
② 焦点の座標の条件と焦点からの距離の差の条件を式にする。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
\sqrt{\,a^2+b^2\,}=\sqrt{\,13\,} \\[5pt] 2a=6
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
③ \(2\) つの式を連立して \(a~,~b\) の値を求め、双曲線の方程式を決定する。
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詳しい解説｜双曲線の方程式の決定
２次曲線 07\(2\) 点 \((\sqrt{\,13\,}~,~0)~,~\)\((-\sqrt{\,13\,}~,~0)\) を焦点、焦点からの距離の差が \(6\) である双曲線の方程式の求め方は？また、\(2\) 直線 \(y=2x~,~\)\(y=-2x\) を漸近線にもち、\(2\) 点 \((0~,~2\sqrt{\,5\,})~,~\)\((0~,~-2\sqrt{\,5\,})\) を焦点とする双曲線の方程式の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
焦点 \((\sqrt{\,13\,}~,~0)~,~\)\((-\sqrt{\,13\,}~,~0)\) は \(x\) 軸上にあるので、この双曲線は
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1~~~(a \gt 0~,~b \gt 0)\)
と表せる
\(c=\sqrt{\,13\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,a^2+b^2\,}&=&\sqrt{\,13\,}
\\[3pt]~~~a^2+b^2&=&13~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
焦点からの距離の差が \(6\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2a&=&6
\\[3pt]~~~a&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~3^2+b^2&=&13
\\[3pt]~~~9+b^2&=&13
\\[3pt]~~~b^2&=&4\end{eqnarray}\)
\(b \gt 0\) より、\(b=2\)
よって、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,3^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,2^2\,}=1\)
したがって、
双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) となる
焦点 \((0~,~2\sqrt{\,5\,})~,~\)\((0~,~-2\sqrt{\,5\,})\) は \(y\) 軸上にあるので、この双曲線は
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=-1~~~(a \gt 0~,~b \gt 0)\)
と表せる
漸近線は \(y=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x~,~\)\(y=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x\) であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}&=&2
\\[5pt]~~~b&=&2a~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、\(c=2\sqrt{\,5\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,a^2+b^2\,}&=&2\sqrt{\,5\,}
\\[3pt]~~~a^2+b^2&=&20\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+(2a)^2&=&20
\\[3pt]~~~a^2+4a^2&=&20
\\[3pt]~~~5a^2&=&20
\\[3pt]~~~a^2&=&4\end{eqnarray}\)
\(a \gt 0\) より、\(a=2\) となり \({\small [\,1\,]}\) より、
\(b=2 \cdot 2=4\)
よって、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4^2\,}=-1\)
したがって、
双曲線の方程式は \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,16\,}=-1\) となる
