曲線外の点から引いた接線の方程式

楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}+y^2=1\) の両辺に \(2\) をかけると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2+y^2{\, \small \times \,}2&=&1{\, \small \times \,}2
\\[5pt]~~~x^2+2y^2&=&2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

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点 \((0~,~3)\) を通る直線 \(x=0\) は、楕円と \(2\) 点 \((0~,~1)~,~(0~,~-1)\) で交わり接線とならないので、

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点 \((0~,~3)\) から引いた接線の傾きを \(m\) とすると、

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この接線の方程式は、

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\(\begin{eqnarray}~~~y-3&=&m(x-0)
\\[3pt]~~~y&=&mx+3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に \({\small [\,2\,]}\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x^2+2(mx+3)^2&=&2
\\[3pt]~~~x^2+2(m^2x^2+6mx+9)&=&2
\\[3pt]~~~x^2+2m^2x^2+12mx+18-2&=&0
\\[3pt]~~~(2m^2+1)x^2+12mx+16&=&0\end{eqnarray}\)

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楕円に接するとき、この \(2\) 次方程式は重解をもつので、判別式 \(D=0\) となる

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\((2m^2+1)x^2+2\cdot 6mx+16=0\) としたときの、\(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=b^{\prime 2}-ac\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(6m)^2-(2m^2+1) \cdot 16&=&0
\\[3pt]~~~36m^2-32m^2-16&=&0
\\[3pt]~~~4m^2-16&=&0
\\[3pt]~~~4(m^2-4)&=&0
\\[3pt]~~~4(m+2)(m-2)&=&0
\\[3pt]~~~m&=&\pm 2\end{eqnarray}\)

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したがって、接線の方程式は

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　\(y=2x+3~,~y=-2x+3\) となる

 
 

点 \((0~,~2)\) を通る直線 \(x=0\) は、双曲線と共有点をもたず接線とならないので、

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点 \((0~,~2)\) から双曲線 \(x^2-y^2=1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\) に引いた接線の傾きを \(m\) とすると、

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この接線の方程式は、

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\(\begin{eqnarray}~~~y-2&=&m(x-0)
\\[3pt]~~~y&=&mx+2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に \({\small [\,2\,]}\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x^2-(mx+2)^2&=&1
\\[3pt]~~~x^2-(m^2x^2+4mx+4)-1&=&0
\\[3pt]~~~(1-m^2)x^2-4mx-4-1&=&0
\\[3pt]~~~(1-m^2)x^2-4mx-5&=&0\end{eqnarray}\)

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この方程式が \(2\) 次方程式となるのは、\(1-m^2\ne 0\) のときで \(m\ne \pm 1\) となる

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双曲線に接するとき、この \(2\) 次方程式は重解をもつので、判別式 \(D=0\) となる

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\((1-m^2)x^2+2\cdot (-2m)x-5=0\) としたときの、\(\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=b^{\prime 2}-ac\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,D\,}{\,4\,}=(-2m)^2-(1-m^2) \cdot (-5)&=&0
\\[3pt]~~~4m^2+5-5m^2&=&0
\\[3pt]~~~-m^2+5&=&0
\\[3pt]~~~m^2-5&=&0
\\[3pt]~~~(m+\sqrt{\,5\,})(m-\sqrt{\,5\,})&=&0
\\[3pt]~~~m&=&\pm \sqrt{\,5\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、接線の方程式は

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　\(y=\sqrt{\,5\,}x+2~,~y=-\sqrt{\,5\,}x+2\) となる