- 数学C｜２次曲線「平行移動した2次曲線の方程式」の基本例題解説ページです。
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問題｜平行移動した2次曲線の方程式
２次曲線 09曲線 \(y^2=8x~,~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1~,~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) をそれぞれ \(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) 平行移動した曲線の方程式と焦点の座標の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
平行移動した2次曲線の方程式
Point：平行移動した2次曲線の方程式
\(F(x-p~,~y-q)=0\)
また、焦点は \((c~,~0)\) のとき、
\((c+p~,~0+q)\) に移動する。
曲線 \(F(x~,~y)=0\) を \(x\) 軸方向に \(+p\) 、\(y\) 軸方向に \(+q\) だけ平行移動しておいた曲線の方程式は、
\(F(x-p~,~y-q)=0\)
※ \(x \rightarrow x-p~,~\)\(y \rightarrow y-q\) に置き換えると考える。
また、焦点は \((c~,~0)\) のとき、
\((c+p~,~0+q)\) に移動する。
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詳しい解説｜平行移動した2次曲線の方程式
２次曲線 09曲線 \(y^2=8x~,~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1~,~\)\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) をそれぞれ \(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) 平行移動した曲線の方程式と焦点の座標の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
\(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) 平行移動するので、
\(x \rightarrow x-1\)
\(y \rightarrow y-(-2)=y+2\)
と置き換えると考える
曲線 \(y^2=8x\) について、
\(y^2=4 \cdot 2x\)
これより、\(p=2\) となるので、
焦点は \((2~,~0)\)
曲線 \(y^2=8x\) を \(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) 平行移動すると、
\((y+2)^2=8(x-1)\)
また、焦点は、
\((2+1~,~0-2)=(3~,~-2)\)
したがって、
\((y+2)^2=8(x-1)\)、焦点 \((3~,~-2)\) となる
曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) について、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,5^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3^2\,}=1\)
これより、\(a=5~,~b=3\) となるので、
\(c=\sqrt{\,a^2-b^2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,5^2-3^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,25-9\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16\,}
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
よって、焦点は \((4~,~0)~,~\)\((-4~,~0)\)
曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) 平行移動すると、
\(\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,(y+2)^2\,}{\,9\,}=1\)
また、焦点は、
\((4+1~,~0-2)=(5~,~-2)\)
\((-4+1~,~0-2)=(-3~,~-2)\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,25\,}+\displaystyle \frac{\,(y+2)^2\,}{\,9\,}=1\)、
焦点 \((5~,~-2)~,~(-3~,~-2)\) となる
曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) について、
\(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,2^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,3^2\,}=1\)
これより、\(a=2~,~b=3\) となるので、
\(c=\sqrt{\,a^2+b^2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~c&=&\sqrt{\,2^2+3^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+9\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,13\,}\end{eqnarray}\)
よって、焦点は \((\sqrt{\,13\,}~,~0)~,~\)\((-\sqrt{\,13\,}~,~0)\)
曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(1\) 、\(y\) 軸方向に \(-2\) 平行移動すると、
\(\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,(y+2)^2\,}{\,9\,}=1\)
また、焦点は、
\((\sqrt{\,13\,}+1~,~0-2)=(\sqrt{\,13\,}+1~,~-2)\)
\((-\sqrt{\,13\,}+1~,~0-2)=(-\sqrt{\,13\,}+1~,~-2)\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,(x-1)^2\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,(y+2)^2\,}{\,9\,}=1\)、
焦点 \((\sqrt{\,13\,}+1~,~-2)~,~(-\sqrt{\,13\,}+1~,~-2)\) となる
