曲線と直線との交点の中点の座標

双曲線と直線との交点の \(x\) 座標を \(\alpha~,~\beta\) とおくと、

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\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x^2-y^2=1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\\ y=-2x+3~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に \({\small [\,2\,]}\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x^2-(-2x+3)^2&=&1
\\[3pt]~~~x^2-(4x^2-12x+9)&=&1
\\[3pt]~~~x^2-4x^2+12x-9&=&1
\\[3pt]~~~-3x^2+12x-10&=&0
\\[3pt]~~~3x^2-12x+10&=&0\end{eqnarray}\)

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この \(2\) 次方程式の異なる \(2\) つの解が \(\alpha~,~\beta\) となる

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よって、解と係数の関係より、

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　\(\alpha+\beta=-\displaystyle \frac{\,-12\,}{\,3\,}=4~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)

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ここで、中点の \(x\) 座標は \(\displaystyle \frac{\,\alpha+\beta\,}{\,2\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\alpha+\beta\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)

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また、この中点は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にあるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&-2 \cdot 2+3
\\[3pt]~~~&=&-4+3
\\[3pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)

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したがって、中点の座標は \((2~,~-1)\) となる