- 数学C｜２次曲線「媒介変数表示の曲線の平行移動」の基本例題解説ページです。
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問題｜媒介変数表示の曲線の平行移動
２次曲線 25媒介変数表示 \(x=2\cos \theta-1~,~\)\(y=3\sin \theta+2\) はどのような曲線を表すか？また、\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos \theta\,}+2~,~\)\(y=\tan \theta-3\) の曲線は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
媒介変数表示の曲線の平行移動
Point：媒介変数表示の曲線の平行移動
① それぞれの式を \(\cos \theta~,~\sin \theta\) について解く。
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,2\,}~,~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,3\,}\)
② 三角関数の相互関係の公式に代入して、曲線の方程式を求める。
\(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta=1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,(y-2)^2\,}{\,9\,}=1\)
※ \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos \theta\,}\) と \(\tan \theta\) の式では、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}-\tan^2 \theta=1\) に代入して求める。
媒介変数 \(\theta\) で表された曲線は、
① それぞれの式を \(\cos \theta~,~\sin \theta\) について解く。
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,2\,}~,~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,3\,}\)
② 三角関数の相互関係の公式に代入して、曲線の方程式を求める。
\(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta=1\) より、
\(\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,(y-2)^2\,}{\,9\,}=1\)
※ \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos \theta\,}\) と \(\tan \theta\) の式では、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}-\tan^2 \theta=1\) に代入して求める。
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詳しい解説｜媒介変数表示の曲線の平行移動
２次曲線 25媒介変数表示 \(x=2\cos \theta-1~,~\)\(y=3\sin \theta+2\) はどのような曲線を表すか？また、\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos \theta\,}+2~,~\)\(y=\tan \theta-3\) の曲線は？
高校数学C｜２次曲線
\(x=2\cos \theta-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cos \theta-1&=&x
\\[3pt]~~~2\cos \theta&=&x+1
\\[5pt]~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(y=3\sin \theta+2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3\sin \theta+2&=&y
\\[3pt]~~~3\sin \theta&=&y-2
\\[5pt]~~~\sin \theta&=&\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,3\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
三角関数の相互関係の公式より、
\(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta=1\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,2\,}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,y-2\,}{\,3\,}\right)^2&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(x+1)^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,(y-2)^2\,}{\,9\,}&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1\) を \(x\) 軸方向に \(-1\) 、\(y\) 軸方向に \(2\) 平行移動した楕円である
\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos \theta\,}+2\) より、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos \theta\,}=x-2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\(y=\tan \theta-3\) より、
\(\tan \theta=y+3~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
三角関数の相互関係の公式より、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}-\tan^2 \theta=1\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\((x-2)^2-(y+3)^2=1\)
したがって、双曲線 \(x^2-y^2=1\) を \(x\) 軸方向に \(2\) 、\(y\) 軸方向に \(-3\) 平行移動した双曲線である
