- 数学C｜２次曲線「極座標の表し方と直交座標に変換」の基本例題解説ページです。
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問題｜極座標の表し方と直交座標に変換
２次曲線 26極座標で表された点 \({\rm A}\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~,~\)\({\rm B}\left(4~,~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)~,~\)\({\rm C}\left(1~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)~,~\)\({\rm D}(3~,~-\pi)\) の図示の方法は？また、それぞれの極座標の直交座標の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
極座標の表し方と直交座標に変換
Point：極座標の表し方と直交座標に変換
このとき、\((r~,~\theta)\) を極座標、定点 \({\rm O}\) を極、半直線 \({\rm OX}\) を始線、角 \(\theta\) を偏角という。
\(x\) 座標は \(x=r\cos \theta\) 、\(y\) 座標は \(y=r\sin \theta\) となる。
\({\rm P}(r\cos \theta~,~r\sin \theta)\)
平面上の点 \({\rm O}\) と半直線 \({\rm OX}\) を定めると、平面上の任意の点 \({\rm P}\) は、\({\rm OP}\) の長さ \(r\) と \({\rm OX}\) とのなす角 \(\theta\) から決まる。
このとき、\((r~,~\theta)\) を極座標、定点 \({\rm O}\) を極、半直線 \({\rm OX}\) を始線、角 \(\theta\) を偏角という。
極座標の点 \({\rm P}(r~,~\theta)\) を直交座標で表すと、
\(x\) 座標は \(x=r\cos \theta\) 、\(y\) 座標は \(y=r\sin \theta\) となる。
\({\rm P}(r\cos \theta~,~r\sin \theta)\)
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詳しい解説｜極座標の表し方と直交座標に変換
２次曲線 26極座標で表された点 \({\rm A}\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)~,~\)\({\rm B}\left(4~,~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)~,~\)\({\rm C}\left(1~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)~,~\)\({\rm D}(3~,~-\pi)\) の図示の方法は？また、それぞれの極座標の直交座標の求め方は？
高校数学C｜２次曲線
\({\rm A}\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) は偏角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) 、長さ \(2\) より、
また、点 \({\rm A}\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)\) より、\(r=2~,~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&r\cos \theta
\\[5pt]~~~&=&2\cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&r\sin \theta
\\[5pt]~~~&=&2\sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm A}(\sqrt{\,3\,}~,~1)\) となる
\({\rm B}\left(4~,~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) は偏角 \(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) 、長さ \(4\) より、
また、点 \({\rm B}\left(4~,~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\) より、\(r=4~,~\theta=-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&4\cos \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&4 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&4 \cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&4\sin \left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&4 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&4 \cdot \left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&-2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm B}(2\sqrt{\,2\,}~,~-2\sqrt{\,2\,})\) となる
\({\rm C}\left(1~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) は偏角 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) 、長さ \(1\) より、
また、点 \({\rm C}\left(1~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\) より、\(r=1~,~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&1 \cdot \cos \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot 0
\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&1 \cdot \sin \displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot 1
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm C}(0~,~1)\) となる
\({\rm D}(3~,~-\pi)\) は偏角 \(-\pi\) 、長さ \(3\) より、
また、点 \({\rm D}(3~,~-\pi)\) より、\(r=3~,~\theta=-\pi\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&3\cos (-\pi)
\\[3pt]~~~&=&3 \cdot (-1)
\\[3pt]~~~&=&-3\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&3\sin (-\pi)
\\[3pt]~~~&=&3 \cdot 0
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm D}(-3~,~0)\) となる
