- 数学C｜２次曲線「直交座標の点を極座標に変換」の基本例題解説ページです。
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問題｜直交座標の点を極座標に変換
２次曲線 27直交座標の点 \({\rm A}(1~,~\sqrt{\,3\,})~,~\)\({\rm B}(-2~,~-2)\) を極座標 \((r~,~\theta)\) での表し方は？(ただし、\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\))
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
直交座標の点を極座標に変換
Point：直交座標の点を極座標に変換
極 \({\rm O}\) から点 \({\rm P}\) までの長さ \(r\) は、
\(r=\sqrt{\,x^2+y^2\,}\)
偏角 \(\theta\) は、\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) より、
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}\)
を満たす角 \(\theta\) となる。
これより、極座標は \({\rm P}(r~,~\theta)\) となる。
直交座標 \({\rm P}(x~,~y)\) を極座標で表すと、
極 \({\rm O}\) から点 \({\rm P}\) までの長さ \(r\) は、
\(r=\sqrt{\,x^2+y^2\,}\)
偏角 \(\theta\) は、\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) より、
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}~,~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}\)
を満たす角 \(\theta\) となる。
これより、極座標は \({\rm P}(r~,~\theta)\) となる。
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詳しい解説｜直交座標の点を極座標に変換
２次曲線 27直交座標の点 \({\rm A}(1~,~\sqrt{\,3\,})~,~\)\({\rm B}(-2~,~-2)\) を極座標 \((r~,~\theta)\) での表し方は？(ただし、\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\))
高校数学C｜２次曲線
\({\rm A}(1~,~\sqrt{\,3\,})\) より、\(x=1~,~y=\sqrt{\,3\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,1^2+(\sqrt{\,3\,})^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4\,}
\\[3pt]~~~&=&2\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) の範囲で、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\sin \theta&=&\displaystyle \frac{\,y\,}{\,r\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
となるので、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\)
したがって、\({\rm A}\left(2~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)\) となる
\({\rm B}(-2~,~-2)\) より、\(x=-2~,~y=-2\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\sqrt{\,(-2)^2+(-2)^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,4+4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,8\,}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、\(0{\small ~≦~}\theta \lt 2\pi\) の範囲で、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}
\\[5pt]~~~\sin \theta&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}\end{eqnarray}\)
となるので、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\)
したがって、\({\rm B}\left(2\sqrt{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)\) となる
