- 数学C｜２次曲線「極方程式の表す図形」の基本例題解説ページです。
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問題｜極方程式の表す図形
２次曲線 28極方程式 \(r=2~,~\)\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\)\(r\cos \theta=2~,~\)\(r=2\cos \theta\) はどのような図形で表されるか？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
極方程式の表す図形
Point：極方程式の表す図形
\(r=f(\theta)~,~F(r~,~\theta)=0\)
これを「極方程式」という。
極方程式 \(r=2\) は、
\(r=2\) 、\(\theta\) は任意の値より、
極 \({\rm O}\) を中心とする半径 \(2\) の円を表す。
極方程式 \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) は、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 、\(r\) は任意の値より、
極 \({\rm O}\) を通り、
始線とのなす角が \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の直線を表す。
■ \(r\cos \theta=a\) タイプ
極方程式 \(r\cos \theta=a\) は、
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,r\,}\) より、
極座標 \((a~,~0)\) を通り、
始線 \({\rm OX}\) に垂直な直線を表す。
極方程式 \(r=2a\cos \theta\) は、
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,r\,}{\,2a\,}\) より、
極座標 \((a~,~0)\) を中心、半径 \(a\) の円を表す。
極座標 \((r~,~\theta)\) に関する方程式
\(r=f(\theta)~,~F(r~,~\theta)=0\)
これを「極方程式」という。
■ \(r=\) 定数タイプ
極方程式 \(r=2\) は、
\(r=2\) 、\(\theta\) は任意の値より、
極 \({\rm O}\) を中心とする半径 \(2\) の円を表す。
■ \(\theta=\) 定数タイプ
極方程式 \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) は、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 、\(r\) は任意の値より、
極 \({\rm O}\) を通り、
始線とのなす角が \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の直線を表す。
■ \(r\cos \theta=a\) タイプ
極方程式 \(r\cos \theta=a\) は、
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,r\,}\) より、
極座標 \((a~,~0)\) を通り、
始線 \({\rm OX}\) に垂直な直線を表す。
■ \(r=2a\cos \theta\) タイプ
極方程式 \(r=2a\cos \theta\) は、
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,r\,}{\,2a\,}\) より、
極座標 \((a~,~0)\) を中心、半径 \(a\) の円を表す。
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詳しい解説｜極方程式の表す図形
２次曲線 28極方程式 \(r=2~,~\)\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\)\(r\cos \theta=2~,~\)\(r=2\cos \theta\) はどのような図形で表されるか？
高校数学C｜２次曲線
極座標 \((r~,~\theta)\) について、極方程式 \(r=2\) は、
\(r=2\) 、\(\theta\) は任意の値より、
極 \({\rm O}\) を中心とする半径 \(2\) の円を表す
【別解】
極座標 \((r~,~\theta)\) について、極方程式 \(r=2\) は、
\(r=\sqrt{\,x^2+y^2\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{\,x^2+y^2\,}&=&2
\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&2^2\end{eqnarray}\)
これより、原点を中心、半径 \(2\) の円になる
極座標 \((r~,~\theta)\) について、極方程式 \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) は、
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) 、\(r\) は任意の値より、
極 \({\rm O}\) を通り、始線とのなす角が \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) の直線を表す
極座標 \((r~,~\theta)\) について、極方程式 \(r\cos \theta=2\) は、
\(\cos \theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,r\,}\)
図より、極座標 \((2~,~0)\) を通り、始線 \({\rm OX}\) に垂直な直線となる
【別解】
極座標 \((r~,~\theta)\) について、極方程式 \(r\cos \theta=2\) は、
\(r\cos \theta=x\) より、
\(x=2\)
これより、直線 \(x=2\) となる
極座標 \((r~,~\theta)\) について、極方程式 \(r=2\cos \theta\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cos \theta&=&r
\\[5pt]~~~\cos \theta&=&\displaystyle \frac{\,r\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
図より、中心が極座標 \((1~,~0)\) 、半径 \(1\) の円となる
【別解】
極座標 \((r~,~\theta)\) について、極方程式 \(r=2\cos \theta\) は、
両辺に \(r\) をかけると、
\(r^2=2r\cos \theta\)
\(r^2=x^2+y^2\) 、\(r\cos \theta=x\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&2x
\\[3pt]~~~x^2-2x+y^2&=&0
\\[3pt]~~~(x^2-2x+1)-1+y^2&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)^2+y^2&=&1\end{eqnarray}\)
これより、中心 \((1~,~0)\) 、半径 \(1\) の円となる
