- 数学C｜２次曲線「円・楕円・双曲線の媒介変数表示」の基本例題解説ページです。
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問題｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
２次曲線 24円 \(x^2+y^2=9\)、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\)、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) の媒介変数 \(\theta\) を用いた表し方は？
高校数学C｜２次曲線
解法のPoint
円・楕円・双曲線の媒介変数表示
Point：円・楕円・双曲線の媒介変数表示
\(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta=1\) より、
\(x=a\cos \theta~,~y=a\sin \theta\)
\(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta=1\) より、
\(x=a\cos \theta~,~y=b\sin \theta\)
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}-\tan^2 \theta=1\) より、
\(x=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\cos \theta\,}~,~y=b\tan \theta\)
■ 円 \(x^2+y^2=a^2\) の媒介変数表示
\(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta=1\) より、
\(x=a\cos \theta~,~y=a\sin \theta\)
■ 楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) の媒介変数表示
\(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta=1\) より、
\(x=a\cos \theta~,~y=b\sin \theta\)
■ 双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}=1\) の媒介変数表示
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}-\tan^2 \theta=1\) より、
\(x=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,\cos \theta\,}~,~y=b\tan \theta\)
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詳しい解説｜円・楕円・双曲線の媒介変数表示
２次曲線 24円 \(x^2+y^2=9\)、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\)、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) の媒介変数 \(\theta\) を用いた表し方は？
高校数学C｜２次曲線
三角関数の相互関係の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos^2 \theta+\sin^2 \theta&=&1
\\[3pt]~~~9\cos^2 \theta+9\sin^2 \theta&=&9
\\[3pt]~~~(3\cos \theta)^2+(3\sin \theta)^2&=&9\end{eqnarray}\)
これより、円 \(x^2+y^2=9\) の媒介変数表示は、
\(x=3\cos \theta~,~y=3\sin \theta\)
三角関数の相互関係の公式より、
\(\cos^2 \theta+\sin^2 \theta=1\)
また、楕円の方程式は、
\(\left(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2=1\)
これより、楕円 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) の媒介変数表示は、
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}=\cos \theta~,~\displaystyle \frac{\,y\,}{\,2\,}=\sin \theta\)
したがって、
\(x=3\cos \theta~,~y=2\sin \theta\)
三角関数の相互関係の公式より、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2 \theta\,}-\tan^2 \theta=1\)
また、双曲線の方程式は、
\(\left(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}\right)^2-\left(\displaystyle \frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2=1\)
これより、双曲線 \(\displaystyle \frac{\,x^2\,}{\,9\,}-\displaystyle \frac{\,y^2\,}{\,4\,}=1\) の媒介変数表示は、
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos \theta\,}~,~\displaystyle \frac{\,y\,}{\,2\,}=\tan \theta\)
したがって、
\(x=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\cos \theta\,}~,~y=2\tan \theta\)
