【新課程】数研出版：新編数学Ⅲ[710]

p.70 練習1\({\small (1)}~\)$$\begin{eqnarray}~~~f'(1)&=&\lim_{h\to0}\frac{\,\sqrt{1+h}-1\,}{\,h\,}
\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}\frac{\,(\sqrt{1+h}-1)(\sqrt{1+h}+1)\,}{\,h(\sqrt{1+h}+1)\,}
\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}\frac{\,(1+h)-1\,}{\,h(\sqrt{1+h}+1)\,}
\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}\frac{\,1\,}{\,\sqrt{1+h}+1\,}
\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}$$\({\small (2)}~\)$$\small \begin{eqnarray}~~~f'(2)&=&\lim_{h\to0}\frac{\,\sqrt{2+h}-\sqrt{2}\,}{\,h\,}
\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}\frac{\,(\sqrt{2+h}-\sqrt{2})(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})\,}{\,h(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})\,}
\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}\frac{\,(2+h)-2\,}{\,h(\sqrt{2+h}+\sqrt{2})\,}
\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to0}\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2+h}+\sqrt{2}\,}
\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,2\sqrt{2}\,}
\end{eqnarray}$$

p.71 練習2$$~~~\frac{\,1\,}{\,2\sqrt{3}\,}$$

p.72 練習3\({\small (1)}~\)[証明] 関数 \(f(x)=|x-1|\) は \(x=1\) で連続で、$$\begin{split}&\frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,|(1+h)-1|-|1-1|\,}{\,h\,}=\frac{\,|h|\,}{\,h\,}\end{split}$$これより、$$\begin{split}&\lim_{h\to +0}\frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to +0}\frac{\,h\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&1\end{split}$$$$\begin{split}&\lim_{h\to -0}\frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to -0}\frac{\,-h\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&-1\end{split}$$これより、\(f'(1)\) は存在しない
したがって、\(f(x)\) は \(x=1\) で微分可能でない [終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] 関数 \(f(x)=|x^2-1|\) は \(x=1\) で連続で、$$\begin{split}&\frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,|h^2+2h|\,}{\,h\,}=\frac{\,|h||h+2|\,}{\,h\,}\end{split}$$これより、$$\begin{split}&\lim_{h\to +0}\frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to +0}\frac{\,h(h+2)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to +0}(h+2)\\[3pt]~~=~&2\end{split}$$$$\begin{split}&\lim_{h\to -0}\frac{\,f(1+h)-f(1)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to -0}\frac{\,-h(h+2)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h\to -0}(-h-2)\\[3pt]~~=~&-2\end{split}$$これより、\(f'(1)\) は存在しない
したがって、\(f(x)\) は \(x=1\) で微分可能でない [終]

p.73 練習4$${\small (1)}~$$$$\begin{eqnarray}~~~f'(x)&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,1\,}{\,h\,}\left\{ \frac{\,1\,}{\,2(x+h)\,} -\frac{\,1\,}{\,2x\,} \right\}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,-1\,}{\,2x(x+h)\,}\\[3pt]~~~&=&-\frac{\,1\,}{\,2x^2\,}\end{eqnarray}$$$${\small (2)}~$$$$\begin{eqnarray}~~~f'(x)&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,x+h-x\,}{\,h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,1\,}{\,\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,2\sqrt{x}\,}\end{eqnarray}$$

p.75 練習5$${\small (1)}~y’=5x^4+8x^3$$$${\small (2)}~y’=18x^5-12x^2$$$${\small (3)}~y’=4x^3+3x^2-8x-4$$$${\small (4)}~y’=12x^3+9x^2+2x-2$$

p.76 練習6[証明] 関数 \(f(x)~,~g(x)\) がともに微分可能であるとき、積の導関数より、$$\small \begin{eqnarray}~~~\left\{ \frac{\,f(x)\,}{\,g(x)\,} \right\}&=&\left\{ f(x)\cdot \frac{\,1\,}{\,g(x)\,} \right\}
\\[3pt]~~~&=&f'(x)\cdot \frac{\,1\,}{\,g(x)\,}+f(x)\left\{ \frac{\,1\,}{\,g(x)\,} \right\}’
\\[3pt]~~~&=&\frac{\,f'(x)\,}{\,g(x)\,}+f(x)\left\{ -\frac{\,g'(x)\,}{\,\{g(x)\}^2\,} \right\}
\\[3pt]~~~&=&\frac{\,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\,}{\,\{g(x)\}^2\,}
\end{eqnarray}$$[終]

p.77 練習7$${\small (1)}~y’=-\frac{\,2\,}{\,(2x-3)^2\,}$$$${\small (2)}~y’=-\frac{\,x^2+2\,}{\,(x^2-2)^2\,}$$$${\small (3)}~y’=\frac{\,-2x^2+2x+2\,}{\,(x^2+1)^2\,}$$

p.77 練習8$${\small (1)}~y’=-\frac{\,1\,}{\,x^2\,}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,8\,}{\,x^3\,}$$$${\small (3)}~y’=-\frac{\,1\,}{\,x^4\,}$$

p.79 練習9$${\small (1)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=3(x^2+3x+1)^2(2x+3)$$$${\small (2)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=6a(ax+b)^5$$$${\small (3)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\frac{\,8x\,}{\,(2x^2+3)^3\,}$$$${\small (4)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\frac{\,3a\,}{\,(ax+b)^4\,}$$

p.79 練習10$${\small (1)}~y’=12(3x+1)^3$$$${\small (2)}~y’=12x(2x^2+5)^2$$$${\small (3)}~y’-12x(1-2x^2)^2$$$${\small (4)}~y’=-\frac{\,6x\,}{\,(x^2+1)^4\,}$$

p.81 練習11$$~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,1\,}{\,6\sqrt[\large6 ]{x^5}\,}$$

p.82 練習12$${\small (1)}~y’=\frac{\,1\,}{\,8\sqrt[\large 8]{x^7}\,}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,2\,}{\,3\sqrt[\large 3]{x}\,}$$$${\small (3)}~y’=-\frac{\,1\,}{\,2x\sqrt{x}\,}$$

p.83 補充問題 1[証明] \(f(x)g(x)\) と \(h(x)\) の積の微分法より、$$\small \begin{eqnarray}~~~y’&=&\{ f(x)g(x)\cdot h(x) \}’\\[2pt]~~~&=&\{ f(x)g(x)\}’ \cdot h(x) +f(x)g(x)\cdot h'(x)\\[2pt]~~~&=&\{ f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\} \cdot h(x) \\[2pt]~~~&&~~~~~~+f(x)g(x) h'(x)\\[2pt]~~~&=&f'(x)g(x) h(x)+f(x)g'(x) h(x)\\[2pt]~~~&&~~~~~~+f(x)g(x) h'(x)\end{eqnarray}$$[終]
$$~~~y’=12x^3+6x^2-10x+2$$

p.83 補充問題 2\({\small (1)}~\)[証明] \(u=ax+b\) とすると、$$~~~\frac{\,df(u)\,}{\,du\,}=f'(u)~,~\frac{\,du\,}{\,dx\,}=a$$これより、$$~~~\frac{\,df(u)\,}{\,dx\,}=\frac{\,df(u)\,}{\,du\,}\cdot \frac{\,du\,}{\,dx\,}=af'(u)$$したがって、$$~~~\frac{\,d\,}{\,dx\,}f(ax+b)=af'(ax+b)$$[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] \(u=g(x)\) とすると、$$~~~\frac{\,du^n\,}{\,du\,}=nu^{n-1}~,~\frac{\,du\,}{\,dx\,}=u’$$これより、$$~~~\frac{\,du^n\,}{\,dx\,}=\frac{\,du^n\,}{\,du\,}\cdot\frac{\,du\,}{\,dx\,}=nu^{n-1}\cdot u’$$したがって、$$~~~\frac{\,d\,}{\,dx\,}\{ g(x) \}^n=n\{ g(x) \}^{n-1}\cdot g'(x)$$[終]

p.85 練習13$${\small (1)}~y’=-2\sin{2x}$$$${\small (2)}~y’=3\sqrt{2}\cos{\left(3x+\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \right)}$$$${\small (3)}~y’=2\sin{x}\cos{x}=\sin{2x}$$$${\small (4)}~y’=\frac{\,2\tan{x}\,}{\,\cos^2{x}\,}$$$${\small (5)}~y’=-\frac{\,\cos{x}\,}{\,\sin^2{x}\,}$$$${\small (6)}~y’=-6\sin{3x}\cos{3x}=-3\sin{6x}$$

p.87 練習14$${\small (1)}~y’=\frac{\,1\,}{\,x\,}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,4\,}{\,(4x-1)\log_{}2\,}$$$${\small (3)}~y’=\frac{\,2x\,}{\,x^2+1\,}$$$${\small (4)}~y’=\log_{}x$$

p.88 練習15[証明] 底の変換公式より、$$~~~\log_{a}|x|=\frac{\,\log_{e}|x|\,}{\,\log_{e}a\,}=\frac{\,\log_{}|x|\,}{\,\log_{}a\,}$$これより、$$\begin{split}&(\log_{a}|x|)’\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,\log_{}a\,}\cdot (\log_{}|x|)’\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,\log_{}a\,}\cdot \frac{\,1\,}{\,x\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,x\log_{}a\,}\end{split}$$[終]

p.88 練習16$${\small (1)}~y’=\frac{\,3\,}{\,3x+2\,}$$$${\small (2)}~y’=\frac{\,\cos{x}\,}{\,\sin{x}\,}=\frac{\,1\,}{\,\tan{x}\,}$$$${\small (3)}~y’=\frac{\,2\,}{\,(2x-1)\log_{}5\,}$$$${\small (3)}~y’=\frac{\,2x\,}{\,(x^2-4)\log_{}2\,}$$

p.89 練習17$${\small (1)}~y’=-\frac{\,6(x+1)^2\,}{\,(x-1)^2(x+2)^3\,}$$$${\small (2)}~y’=-\frac{\,x+3\,}{\,2(x+1)^2\sqrt{x+2}\,}$$

p.89 練習18[証明] \(x^\alpha > 0\) より、\(y=x^\alpha\) に両辺に自然対数をとると、$$~~~\log_{}y=\alpha \log_{}x$$両辺を \(x\) で微分すると、$$\begin{eqnarray}~~~\frac{\,y’\,}{\,y\,}&=&\alpha \cdot \frac{\,1\,}{\,x\,}\\[3pt]~~~y’&=&\alpha \cdot \frac{\,1\,}{\,x\,} \cdot y\\[3pt]~~~y’&=&\alpha \cdot \frac{\,x^\alpha\,}{\,x\,}\\[3pt]~~~y’&=&\alpha x^{\alpha -1}\end{eqnarray}$$[終]

p.90 練習19[証明] \((a^x)’=a^x\log_{}a\) より、
\(a=e\) のとき、$$\begin{eqnarray}~~~(e^x)’&=&e^x\log_{}e
\\[2pt]~~~&=&e^x
\end{eqnarray}$$[終]

p.90 練習20$${\small (1)}~y’=2e^{2x}$$$${\small (2)}~y’=-2xe^{-x^2}$$$${\small (3)}~y’=3^{x}\log_{}3$$$${\small (4)}~y’=-3\cdot 2^{-3x}\log_{}2$$$${\small (5)}~y’=(1+x)e^{x}$$$${\small (6)}~y’=a^{x}\{ 2+(2x-1)\log_{}a \}$$

p.91 練習21$${\small (1)}~y’=3x^2-2~,~y'{}’=6x~,~y'{}'{}’=6$$$${\small (2)}~y’=-\frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~y'{}’=\frac{\,2\,}{\,x^3\,}~,~y'{}'{}’=-\frac{\,6\,}{\,x^4\,}$$$${\small (3)}~y’=\frac{\,1\,}{\,2\sqrt{x+1}\,}$$$$~~~~~~~,~y'{}’=-\frac{\,1\,}{\,4(x+1)\sqrt{x+1}\,}$$$$~~~~~~~,~y'{}'{}’=\frac{\,3\,}{\,8(x+1)^2\sqrt{x+1}\,}$$$${\small (4)}~y’=-\sin{x}~,~y'{}’=-\cos{x}$$$$~~~~~~~,~y'{}'{}’=\sin{x}$$$${\small (5)}~y’=\frac{\,1\,}{\,x\,}~,~y'{}’=-\frac{\,1\,}{\,x^2\,}~,~y'{}'{}’=\frac{\,2\,}{\,x^3\,}$$$${\small (6)}~y’=e^x~,~y'{}’=e^x~,~y'{}'{}’=e^x$$

p.91 練習22$${\small (1)}~y^{(n)}=2^ne^{2x}$$$${\small (2)}~y^{(n)}=n!$$

p.92 練習23$${\small (1)}~y=\pm \sqrt{-8x}$$\({\small (2)}~\)[証明] \(y=\sqrt{-8x}\) の両辺を \(x\) で微分すると、$$\begin{eqnarray}~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot (-8x)^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}} \cdot (-8)\\[3pt]~~~&=&-\frac{\,4\,}{\,\sqrt{-8x}\,}\\[3pt]~~~&=&-\frac{\,4\,}{\,y\,}\end{eqnarray}$$また、\(y=-\sqrt{-8x}\) の両辺を \(x\) で微分すると、$$\begin{eqnarray}~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot (-8x)^{-\frac{\,1\,}{\,2\,}} \cdot (-8)\\[3pt]~~~&=&-\frac{\,4\,}{\,-\sqrt{-8x}\,}\\[3pt]~~~&=&-\frac{\,4\,}{\,y\,}\end{eqnarray}$$したがって、$$~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\frac{\,4\,}{\,y\,}$$[終]

p.93 練習24$${\small (1)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,1\,}{\,2y\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\frac{\,x\,}{\,y\,}$$$${\small (3)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,x\,}{\,y\,}$$

p.96 練習25$${\small (1)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=\frac{\,1\,}{\,2t\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\frac{\,\cos{t}\,}{\,\sin{t}\,}=-\frac{\,1\,}{\,\tan{t}\,}$$$${\small (3)}~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}=-\frac{\,2\cos{t}\,}{\,3\sin{t}\,}$$

p.97 補充問題 5[証明] \(u=x+\sqrt{x^2+a}\) とすると、$$~~~\frac{\,du\,}{\,dx\,}=1+\frac{\,2x\,}{\,2\sqrt{x^2+a}}=\frac{\,\sqrt{x^2+a}+x\,}{\,\sqrt{x^2+a}\,}$$また、\(y=\log_{}u\) となるので、$$~~~\frac{\,dy\,}{\,du\,}=\frac{\,1\,}{\,u\,}=\frac{\,1\,}{\,x+\sqrt{x^2+a}\,}$$これより、$$\begin{eqnarray}~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\frac{\,dy\,}{\,du\,}\cdot\frac{\,du\,}{\,dx\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,x+\sqrt{x^2+a}\,}\cdot \frac{\,\sqrt{x^2+a}+x\,}{\,\sqrt{x^2+a}\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,\sqrt{x^2+a}\,}\end{eqnarray}$$したがって、$$~~~\frac{\,d\,}{\,dx\,}\log_{}(x+\sqrt{x^2+a})=\frac{\,1\,}{\,\sqrt{x^2+a}\,}$$[終]

p.98 章末問題Ａ 1\(y=x\sqrt{x}=\sqrt{x^3}\) より、$$\begin{eqnarray}~~~y’&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,\sqrt{(x+h)^3}-\sqrt{x^3}\,}{\,h\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,(x+h)^3-x^3\,}{\,h(\sqrt{(x+h)^3}+\sqrt{x^3})\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,3x^2h+3xh^2+h^3\,}{\,h(\sqrt{(x+h)^3}+\sqrt{x^3})\,}\\[3pt]~~~&=&\lim_{h\to 0}\frac{\,3x^2+3xh+h^2\,}{\,\sqrt{(x+h)^3}+\sqrt{x^3}\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,3x^2\,}{\,2\sqrt{x^3}\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,3\,}{\,2\,}\sqrt{\frac{\,x^4\,}{\,x^3\,}}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,3\,}{\,2\,}\sqrt{x}\end{eqnarray}$$

p.98 演習問題Ａ 6\({\small (1)}~\)[証明] 両辺を \(x\) で微分すると、$$\begin{eqnarray}~~~\frac{\,2x\,}{\,a^2\,}+\frac{\,2y\,}{\,b^2\,}\cdot \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[3pt]~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}
\end{eqnarray}$$[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] 両辺を \(x\) で微分すると、$$\begin{eqnarray}~~~\frac{\,2x\,}{\,a^2\,}-\frac{\,2y\,}{\,b^2\,}\cdot \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&0
\\[3pt]~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&\frac{\,b^2x\,}{\,a^2y\,}
\end{eqnarray}$$[終]

p.99 章末問題Ｂ 8[証明] 左辺より、$$\scriptsize \begin{split}&\lim_{h \to 0}\frac{\,f(a+h)-f(a-h)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\frac{\,f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-h)\,}{\,h\,}\\[3pt]~~=~&\lim_{h \to 0}\frac{\,f(a+h)-f(a)\,}{\,h\,}+\lim_{h \to 0}\frac{\,f(a-h)-f(a)\,}{\,-h\,}\\[3pt]~~=~&f'(a)+f'(a)\\[3pt]~~=~&2f'(a)\end{split}$$[終]

p.99 章末問題Ｂ 12[証明]
\({\small [1]}~\)\(n=1\) のとき、$$~~~y’=\cos{x}=\sin{\left(x+\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)}$$これより、成り立つ
\({\small [2]}~\)\(n=k\) のとき、$$~~~y^{(k)}=\sin{\left(x+\frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)}$$が成り立つと仮定し、さらに両辺を \(x\) で微分すると、$$\begin{eqnarray}~~~y^{(k+1)}&=&\cos{\left(x+\frac{\,k\pi\,}{\,2\,}\right)}\\[3pt]~~~&=&\sin{\left(x+\frac{\,k\pi\,}{\,2\,}+\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)}\\[3pt]~~~&=&\sin{\left\{x+\frac{\,(k+1)\pi\,}{\,2\,}\right\}}\end{eqnarray}$$これより、\(n=k+1\) のときも成り立つ
したがって、数学的帰納法よりすべての自然数 \(n\) について成り立つ [終]

p.99 章末問題Ｂ 13両辺を \(x\) で微分すると、$$~~~\frac{\,2\,}{\,3\,}x^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}+\frac{\,2\,}{\,3\,}y^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}\cdot \frac{\,dy\,}{\,dx\,}=0$$これより、
$$\begin{eqnarray}y^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}\cdot \frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-x^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}\\[3pt]~~~\frac{\,dy\,}{\,dx\,}&=&-\frac{\,x^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}\,}{\,y^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}\,}\\[3pt]~~~&=&-\left(\frac{\,x\,}{\,y\,}\right)^{-\frac{\,1\,}{\,3\,}}\\[3pt]~~~&=&-\left(\frac{\,y\,}{\,x\,}\right)^{\frac{\,1\,}{\,3\,}}\end{eqnarray}$$