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１章 ベクトル
１節 平面上のベクトル
p.7 問1 ①と③、②と④
p.7 問2 等しいベクトル \(\overrightarrow{d}\) と \(\overrightarrow{f}\)
互いに逆ベクトル \(\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{e}\)
互いに逆ベクトル \(\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{e}\)
p.8 問3\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
p.9 問4[証明] 図より、$$\begin{split}&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}\\[2pt]~~=~&(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+\overrightarrow{\rm CD}\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CD}\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{\rm AD}\end{split}$$また、$$\begin{split}&\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{\rm AB}+(\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD})\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BD}\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{\rm AD}\end{split}$$したがって、$$~~~(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$$[終]
p.9 問5[証明] 左辺より、$$\begin{split}&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CA}\\[2pt]~~=~&(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC})+\overrightarrow{\rm CA}\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm CA}\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{\rm AA}\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{0}\end{split}$$[終]
p.9 問6\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
p.9 問7$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm BD}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm AC}$$$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm BD}$$
p.10 問8\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
p.10 問9$$~~~\frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{a}$$
p.11 問10[証明] 相似比が \(1:k\) より、$$~~~\overrightarrow{\rm A’B’}=k\overrightarrow{\rm AB}=k\overrightarrow{a}$$$$~~~\overrightarrow{\rm B’C’}=k\overrightarrow{\rm BC}=k\overrightarrow{b}$$$$~~~\overrightarrow{\rm A’C’}=k\overrightarrow{\rm AC}=k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$$これより、$$\begin{split}&k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{\rm A’C’}\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{\rm A’B’}+\overrightarrow{\rm B’C’}\\[2pt]~~=~&k\overrightarrow{\rm AB}+k\overrightarrow{\rm BC}\\[2pt]~~=~&k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\end{split}$$[終]
p.11 問11$${\small (1)}~5\overrightarrow{a}$$$${\small (2)}~-7\overrightarrow{a}+11\overrightarrow{b}$$
p.11 問12$${\small (1)}~\overrightarrow{x}=3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{x}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$$
p.12 問13$$~~~\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{c}=-3\overrightarrow{a}$$また、$$~~~\overrightarrow{a}=-\frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}~,~\overrightarrow{b}=-\frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}$$
p.12 問14$$~~~\overrightarrow{\rm AE}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$$$$~~~\overrightarrow{\rm CB}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$$$~~~\overrightarrow{\rm DF}=-2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$
p.15 問15$$~~~\overrightarrow{a}=(4~,~2)~,~|\overrightarrow{a}|=2\sqrt{5}$$$$~~~\overrightarrow{b}=(2~,~-2)~,~|\overrightarrow{b}|=2\sqrt{2}$$$$~~~\overrightarrow{c}=(-3~,~0)~,~|\overrightarrow{c}|=3$$$$~~~\overrightarrow{d}=(0~,~-2)~,~|\overrightarrow{d}|=2$$
p.16 問16$${\small (1)}~(1~,~-1)$$$${\small (2)}~(9~,~-16)$$$${\small (3)}~(0~,~1)$$
p.16 問17$$~~~\overrightarrow{x}=(-1~,~2)$$
p.16 問18$$~~~\left( \frac{\,12\,}{\,13\,}~,~-\frac{\,5\,}{\,13\,} \right)$$
p.16 問19$${\small (1)}~\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{d}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$
p.17 問20$${\small (1)}~(5~,~-7)~,~\sqrt{74}$$$${\small (2)}~(0~,~-3)~,~3$$$${\small (3)}~(-5~,~10)~,~5\sqrt{5}$$
p.17 問21$$~~~(3~,~5)~,~(11~,~-7)$$
p.18 問22$$~~~y=6$$
p.18 問23$$~~~\left( \frac{\,3\sqrt{2}\,}{\,2\,}~,~-\frac{\,3\sqrt{2}\,}{\,2\,} \right)$$$$~~~\left( -\frac{\,3\sqrt{2}\,}{\,2\,}~,~\frac{\,3\sqrt{2}\,}{\,2\,} \right)$$
p.18 問24$$~~~t=5$$
p.19 問25$${\small (1)}~-3\sqrt{3}$$$${\small (2)}~6$$
p.19 問26$${\small (1)}~3$$$${\small (2)}~0$$$${\small (3)}~-1$$$${\small (4)}~-3$$
p.20 問27$$~~~0$$
p.20 問28[証明] \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を \(\theta\) とすると、$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}$$ここで、\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\) より、\(\theta=0^\circ~,~180^\circ\)
よって、$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{0^\circ}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$$また、$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{180^\circ}=-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$$したがって、\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\) ならば
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\) または \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
[終]
よって、$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{0^\circ}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$$また、$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{180^\circ}=-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$$したがって、\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\) ならば
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\) または \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)
[終]
p.21 問29$${\small (1)}~2$$$${\small (2)}~0$$
p.22 問30$${\small (1)}~\theta=120^\circ$$$${\small (2)}~\theta=45^\circ$$
p.22 問31$${\small (1)}~x=2$$$${\small (2)}~y=\pm4$$
p.22 問32$$~~~\left( \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\frac{\,4\,}{\,5\,} \right)~,~\left( -\frac{\,3\,}{\,5\,}~,~-\frac{\,4\,}{\,5\,} \right)$$
p.23 問33[証明]
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\) とすると、
\(k\overrightarrow{a}=(ka_1,ka_2)~,~k\overrightarrow{b}=(kb_1,kb_2)\)
よって、
\((k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=ka_1b_1+ka_2b_2\)
また、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
これより、
\(k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=k(a_1b_1+a_2b_2)\)
\(=ka_1b_1+ka_2b_2\)
また、
\(\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{b})=a_1kb_1+a_2kb_2\)
\(=ka_1b_1+ka_2b_2\)
したがって、
\((k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{b})\)
[終]
[証明]
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)~,~\overrightarrow{c}=(c_1,c_2)\) とすると、
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2)\) より、$$\begin{split}&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}\\[2pt]~~=~&(a_1+b_1)c_1+(a_2+b_2)c_2\\[2pt]~~=~&a_1c_1+b_1c_1+a_2c_2+b_2c_2\\[2pt]~~=~&(a_1c_1+a_2c_2)+(b_1c_1+b_2c_2)\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\end{split}$$したがって、$$~~~(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$$[終]
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)\) とすると、
\(k\overrightarrow{a}=(ka_1,ka_2)~,~k\overrightarrow{b}=(kb_1,kb_2)\)
よって、
\((k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=ka_1b_1+ka_2b_2\)
また、
\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
これより、
\(k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=k(a_1b_1+a_2b_2)\)
\(=ka_1b_1+ka_2b_2\)
また、
\(\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{b})=a_1kb_1+a_2kb_2\)
\(=ka_1b_1+ka_2b_2\)
したがって、
\((k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{b})\)
[終]
[証明]
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)~,~\overrightarrow{c}=(c_1,c_2)\) とすると、
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2)\) より、$$\begin{split}&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}\\[2pt]~~=~&(a_1+b_1)c_1+(a_2+b_2)c_2\\[2pt]~~=~&a_1c_1+b_1c_1+a_2c_2+b_2c_2\\[2pt]~~=~&(a_1c_1+a_2c_2)+(b_1c_1+b_2c_2)\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\end{split}$$したがって、$$~~~(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$$[終]
p.23 問34[証明]
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)~,~\overrightarrow{c}=(c_1,c_2)\) とすると、
\(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(b_1-c_1,b_2-c_2)\) より、$$\begin{split}&\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\\[2pt]~~=~&a_1(b_1-c_1)+a_2(b_2-c_2)\\[2pt]~~=~&a_1b_1-a_1c_1+a_2b_2-a_2c_2\\[2pt]~~=~&(a_1b_1+a_2b_2)-(a_1c_1+a_2c_2)\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\end{split}$$したがって、$$~~~\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$$[終]
\(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)~,~\overrightarrow{c}=(c_1,c_2)\) とすると、
\(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(b_1-c_1,b_2-c_2)\) より、$$\begin{split}&\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\\[2pt]~~=~&a_1(b_1-c_1)+a_2(b_2-c_2)\\[2pt]~~=~&a_1b_1-a_1c_1+a_2b_2-a_2c_2\\[2pt]~~=~&(a_1b_1+a_2b_2)-(a_1c_1+a_2c_2)\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\end{split}$$したがって、$$~~~\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$$[終]
p.23 問35\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)
\(=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2\)
\(=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2\) [終]
\({\small (2)}~\)
(左辺)
\(=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2\)
[終]
(左辺)
\(=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2\)
\(=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^2\) [終]
\({\small (2)}~\)
(左辺)
\(=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})+\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
\(=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}\)
\(=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{a}|^2-|\overrightarrow{b}|^2\)
[終]
p.24 問36$$~~~2\sqrt{6}$$
p.24 問37$$~~~\theta=45^\circ$$
問題
p.25 問題 1$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm PQ}=\frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{\rm AC}-\frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{\rm AB}$$
\({\small (2)}~\)[証明]$$\begin{split}&\overrightarrow{\rm PQ}\\[3pt]~~=~&\frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{\rm AC}-\frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{\rm AB}\\[3pt]~~=~&\frac{\,m\,}{\,m+n\,}(\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB})\\[3pt]~~=~&\frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{\rm BC}\end{split}$$これより、\(\overrightarrow{\rm PQ}\) が \(\overrightarrow{\rm BC}\) の実数倍で表されるので、
\(\overrightarrow{\rm PQ}\,//\,\overrightarrow{\rm BC}\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]$$\begin{split}&\overrightarrow{\rm PQ}\\[3pt]~~=~&\frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{\rm AC}-\frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{\rm AB}\\[3pt]~~=~&\frac{\,m\,}{\,m+n\,}(\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB})\\[3pt]~~=~&\frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{\rm BC}\end{split}$$これより、\(\overrightarrow{\rm PQ}\) が \(\overrightarrow{\rm BC}\) の実数倍で表されるので、
\(\overrightarrow{\rm PQ}\,//\,\overrightarrow{\rm BC}\) [終]
p.25 問題 3[証明]
\(\angle{\rm BOC}=\theta\) とすると、$$\begin{split}&{\rm OA\times OD}\\[2pt]~~=~&|\overrightarrow{\rm OA}||\overrightarrow{\rm OD}|\\[2pt]~~=~&|\overrightarrow{\rm OA}||\overrightarrow{\rm OB}|\cos{\theta}\\[2pt]~~=~&|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}\end{split}$$また、$$\begin{split}&{\rm OB\times OC}\\[2pt]~~=~&|\overrightarrow{\rm OB}||\overrightarrow{\rm OC}|\\[2pt]~~=~&|\overrightarrow{\rm OB}||\overrightarrow{\rm OA}|\cos{\theta}\\[2pt]~~=~&|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}\end{split}$$したがって、\({\rm OA\times OD}={\rm OB\times OC}\) [終]
\(\angle{\rm BOC}=\theta\) とすると、$$\begin{split}&{\rm OA\times OD}\\[2pt]~~=~&|\overrightarrow{\rm OA}||\overrightarrow{\rm OD}|\\[2pt]~~=~&|\overrightarrow{\rm OA}||\overrightarrow{\rm OB}|\cos{\theta}\\[2pt]~~=~&|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}\end{split}$$また、$$\begin{split}&{\rm OB\times OC}\\[2pt]~~=~&|\overrightarrow{\rm OB}||\overrightarrow{\rm OC}|\\[2pt]~~=~&|\overrightarrow{\rm OB}||\overrightarrow{\rm OA}|\cos{\theta}\\[2pt]~~=~&|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos{\theta}\end{split}$$したがって、\({\rm OA\times OD}={\rm OB\times OC}\) [終]
２節 ベクトルの応用
p.28 問1[証明]
\(m> n\) のとき、$$~~~\overrightarrow{\rm AQ}=\frac{\,m\,}{\,m-n\,}\overrightarrow{\rm AB}$$\(m<; n\) のとき、$$~~~\overrightarrow{\rm AQ}=\frac{\,m\,}{\,n-m\,}\overrightarrow{\rm BA}=\frac{\,m\,}{\,m-n\,}\overrightarrow{\rm AB}$$よって、どちらの場合でも、$$\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{q}&=&\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AQ}\\[2pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm OA}+=\frac{\,m\,}{\,m-n\,}\overrightarrow{\rm AB}\\[2pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+=\frac{\,m\,}{\,m-n\,}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\\[2pt]~~~&=&\frac{\,(m-n)\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}-m\overrightarrow{a}\,}{\,m-n\,}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}\,}{\,m-n\,}\end{eqnarray}$$[終]
\(m> n\) のとき、$$~~~\overrightarrow{\rm AQ}=\frac{\,m\,}{\,m-n\,}\overrightarrow{\rm AB}$$\(m<; n\) のとき、$$~~~\overrightarrow{\rm AQ}=\frac{\,m\,}{\,n-m\,}\overrightarrow{\rm BA}=\frac{\,m\,}{\,m-n\,}\overrightarrow{\rm AB}$$よって、どちらの場合でも、$$\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{q}&=&\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AQ}\\[2pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm OA}+=\frac{\,m\,}{\,m-n\,}\overrightarrow{\rm AB}\\[2pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+=\frac{\,m\,}{\,m-n\,}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\\[2pt]~~~&=&\frac{\,(m-n)\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}-m\overrightarrow{a}\,}{\,m-n\,}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}\,}{\,m-n\,}\end{eqnarray}$$[終]
p.28 問2\({\small (1)}~\)内分する点$$~~~\frac{\,2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\,}{\,5\,}$$外分する点$$~~~-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$$\({\small (2)}~\)内分する点$$~~~\frac{\,5\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\,}{\,7\,}$$外分する点$$~~~\frac{\,5\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\,}{\,3\,}$$
p.28 問3頂点 \({\rm A~,~B~,~C}\) の位置ベクトルを \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\)
重心の位置ベクトルを \(\overrightarrow{g}\) とすると、$$~~~\overrightarrow{g}=\frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}$$これより、$$\begin{split}&\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}\\[2pt]~~=~&(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{g}\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{0}\end{split}$$したがって、$$~~~\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}$$[終]
重心の位置ベクトルを \(\overrightarrow{g}\) とすると、$$~~~\overrightarrow{g}=\frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}$$これより、$$\begin{split}&\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}\\[2pt]~~=~&(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{g}\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\\[2pt]~~=~&\overrightarrow{0}\end{split}$$したがって、$$~~~\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}$$[終]
p.29 問4[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\) とすると、
\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}\) となる
点 \({\rm E}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(3:2\) に内分するので、$$\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AE}&=&\frac{\,2\overrightarrow{\rm AB}+3\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,3+2\,}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,2\overrightarrow{b}+3(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})\,}{\,5\,}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,5\,}\end{eqnarray}$$点 \({\rm F}\) は辺 \({\rm BD}\) を \(3:5\) に内分するので、$$\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}&=&\frac{\,5\overrightarrow{\rm AB}+3\overrightarrow{\rm AD}\,}{\,3+5\,}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,8\,}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,5\,}{\,8\,}\times\frac{\,5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,5\,}=\frac{\,5\,}{\,8\,}\overrightarrow{\rm AE}\end{eqnarray}$$したがって、３点 \({\rm A~,~E~,~F}\) は一直線上にある [終]
\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}\) となる
点 \({\rm E}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(3:2\) に内分するので、$$\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AE}&=&\frac{\,2\overrightarrow{\rm AB}+3\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,3+2\,}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,2\overrightarrow{b}+3(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})\,}{\,5\,}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,5\,}\end{eqnarray}$$点 \({\rm F}\) は辺 \({\rm BD}\) を \(3:5\) に内分するので、$$\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}&=&\frac{\,5\overrightarrow{\rm AB}+3\overrightarrow{\rm AD}\,}{\,3+5\,}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,8\,}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,5\,}{\,8\,}\times\frac{\,5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,5\,}=\frac{\,5\,}{\,8\,}\overrightarrow{\rm AE}\end{eqnarray}$$したがって、３点 \({\rm A~,~E~,~F}\) は一直線上にある [終]
p.30 問5\({\small (1)}~\)\(-k:1-k\) に外分する
\({\small (2)}~\)\(k:k-1\) に外分する
\({\small (2)}~\)\(k:k-1\) に外分する
p.31 問6$$~~~\overrightarrow{\rm OP}=\frac{\,6\,}{\,11\,}\overrightarrow{a}+\frac{\,2\,}{\,11\,}\overrightarrow{b}$$
p.32 問7$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm AP}=\frac{\,5\,}{\,12\,}\overrightarrow{b}+\frac{\,7\,}{\,12\,}\overrightarrow{c}$$$${\small (2)}~\triangle {\rm PBC}:\triangle {\rm PCA}:\triangle {\rm PAB}=3:5:7$$
p.33 問8[証明] \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) とすると、$$~~~\overrightarrow{\rm OM}=\frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}$$よって、$$\begin{split}&\overrightarrow{\rm OM}\cdot\overrightarrow{\rm AB}\\[2pt]~~=~&\frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\\[2pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a})\\[2pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2)
\end{split}$$ここで、二等辺三角形より \(|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|\)
これより、\(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2\) となるので、$$~~~\overrightarrow{\rm OM}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0$$\(\overrightarrow{\rm OM}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm AB}\neq\overrightarrow{0}\) より、\({\rm OM\perp AB}\) [終]
\end{split}$$ここで、二等辺三角形より \(|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|\)
これより、\(|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2\) となるので、$$~~~\overrightarrow{\rm OM}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0$$\(\overrightarrow{\rm OM}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm AB}\neq\overrightarrow{0}\) より、\({\rm OM\perp AB}\) [終]
p.33 問9[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とすると、
\(\angle{\rm A}=90^\circ\) より、\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0\)
また、\({\rm AB:AC}=2:3\) より、$$~~~|\overrightarrow{c}|=\frac{\,3\,}{\,2\,}|\overrightarrow{b}|$$
次に、点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm BC}\) を \(4:3\) に内分するので、$$~~~\overrightarrow{\rm AP}=\frac{\,3\,}{\,7\,}\overrightarrow{b}+\frac{\,4\,}{\,7\,}\overrightarrow{c}$$
点 \({\rm Q}\) は線分 \({\rm AC}\) を \(1:2\) に内分するので、$$\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BQ}&=&\frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm BA}+\frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm BC}\\[2pt]~~~&=&-\frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\\[2pt]~~~&=&-\overrightarrow{b}+\frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}\end{eqnarray}$$これより、$$\begin{split}&\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm BQ}\\[2pt]~~=~&\left(\frac{\,3\,}{\,7\,}\overrightarrow{b}+\frac{\,4\,}{\,7\,}\overrightarrow{c}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{b}+\frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}\right)\\[2pt]~~=~&-\frac{\,3\,}{\,7\,}|\overrightarrow{b}|^2+\frac{\,1\,}{\,7\,}\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\\[2pt]~~~~&~~~~~~~~~~~~-\frac{\,4\,}{\,7\,}\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\frac{\,4\,}{\,21\,}|\overrightarrow{c}|^2\end{split}$$ここで、\(|\overrightarrow{c}|^2={\large \frac{\,9\,}{\,4\,}}|\overrightarrow{b}|^2~,~\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0\) より、$$\begin{split}&\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm BQ}\\[2pt]~~=~&-\frac{\,3\,}{\,7\,}|\overrightarrow{b}|^2+\frac{\,4\,}{\,21\,}\cdot\frac{\,9\,}{\,4\,}|\overrightarrow{b}|^2\\[2pt]~~=~&0\end{split}$$したがって、\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm BQ}=0\) より \({\rm AP\perp BQ}\) [終]
\(\angle{\rm A}=90^\circ\) より、\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0\)
また、\({\rm AB:AC}=2:3\) より、$$~~~|\overrightarrow{c}|=\frac{\,3\,}{\,2\,}|\overrightarrow{b}|$$
次に、点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm BC}\) を \(4:3\) に内分するので、$$~~~\overrightarrow{\rm AP}=\frac{\,3\,}{\,7\,}\overrightarrow{b}+\frac{\,4\,}{\,7\,}\overrightarrow{c}$$
点 \({\rm Q}\) は線分 \({\rm AC}\) を \(1:2\) に内分するので、$$\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BQ}&=&\frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm BA}+\frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm BC}\\[2pt]~~~&=&-\frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\\[2pt]~~~&=&-\overrightarrow{b}+\frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}\end{eqnarray}$$これより、$$\begin{split}&\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm BQ}\\[2pt]~~=~&\left(\frac{\,3\,}{\,7\,}\overrightarrow{b}+\frac{\,4\,}{\,7\,}\overrightarrow{c}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{b}+\frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}\right)\\[2pt]~~=~&-\frac{\,3\,}{\,7\,}|\overrightarrow{b}|^2+\frac{\,1\,}{\,7\,}\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\\[2pt]~~~~&~~~~~~~~~~~~-\frac{\,4\,}{\,7\,}\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\frac{\,4\,}{\,21\,}|\overrightarrow{c}|^2\end{split}$$ここで、\(|\overrightarrow{c}|^2={\large \frac{\,9\,}{\,4\,}}|\overrightarrow{b}|^2~,~\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0\) より、$$\begin{split}&\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm BQ}\\[2pt]~~=~&-\frac{\,3\,}{\,7\,}|\overrightarrow{b}|^2+\frac{\,4\,}{\,21\,}\cdot\frac{\,9\,}{\,4\,}|\overrightarrow{b}|^2\\[2pt]~~=~&0\end{split}$$したがって、\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm BQ}=0\) より \({\rm AP\perp BQ}\) [終]
p.34 参考 問1\({\small (1)}~\)[証明]
\(\overrightarrow{a}=(a_1~,~a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1~,~b_2)\) とすると、$$~~~|\overrightarrow{a}|^2={a_1}^2+{a_2}^2$$$$~~~|\overrightarrow{b}|^2={b_1}^2+{b_2}^2$$$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2$$これより、
$$\begin{split}&|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2\\[2pt]~~=~&({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)\\[2pt]&~~~~~~~~~~~-(a_1b_1+a_2b_2)^2\\[2pt]~~=~&(a_1b_2)^2-2a_1a_2b_1b_2+(a_2b_1)^2\\[2pt]~~=~&(a_1b_2-a_2b_1)^2\end{split}$$したがって、$$\begin{eqnarray}~~~S&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}|a_1b_2-a_2b_1|\end{eqnarray}$$[終]
\({\small (2)}~3\)
\(\overrightarrow{a}=(a_1~,~a_2)~,~\overrightarrow{b}=(b_1~,~b_2)\) とすると、$$~~~|\overrightarrow{a}|^2={a_1}^2+{a_2}^2$$$$~~~|\overrightarrow{b}|^2={b_1}^2+{b_2}^2$$$$~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2$$これより、
$$\begin{split}&|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2\\[2pt]~~=~&({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)\\[2pt]&~~~~~~~~~~~-(a_1b_1+a_2b_2)^2\\[2pt]~~=~&(a_1b_2)^2-2a_1a_2b_1b_2+(a_2b_1)^2\\[2pt]~~=~&(a_1b_2-a_2b_1)^2\end{split}$$したがって、$$\begin{eqnarray}~~~S&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})^2}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}|a_1b_2-a_2b_1|\end{eqnarray}$$[終]
\({\small (2)}~3\)
p.37 問10$${\small (1)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=2+t \\y=-3+2t
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$$${\small (2)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=4-3t \\y=2t
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$
x=2+t \\y=-3+2t
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$$${\small (2)}~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=4-3t \\y=2t
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$
p.38 問11\(\overrightarrow{\rm OA’}=2\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}=2\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とするときの線分 \( {\rm A’B’}\)
p.39 問12\(\overrightarrow{\rm OA’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB’}={\large \frac{1}{2}}\overrightarrow{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
p.39 問13
p.40 問14$${\small (1)}~2x+3y+2=0$$$${\small (2)}~2x-y+6=0$$
p.40 問14$$~~~\left(\frac{\,3\,}{\,5\,}~,~-\frac{\,4\,}{\,5\,}\right)~,~\left(-\frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\frac{\,4\,}{\,5\,}\right)$$
p.41 問16$$~~~\theta=60^\circ$$
p.42 問17\({\small (1)}~\)中心 \(\overrightarrow{a}\)、半径 \(1\)
\({\small (2)}~\)中心 \({\large \frac{\,1\,}{\,3\,}}\overrightarrow{a}\)、半径 \(2\)
\({\small (2)}~\)中心 \({\large \frac{\,1\,}{\,3\,}}\overrightarrow{a}\)、半径 \(2\)
p.42 問18[証明]
２点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) を直径とする円上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) とすると、
\(\angle{\rm APB}=90^\circ\) より、$$~~~\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm BP}=0$$したがって、$$~~~(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0$$[終]
２点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) を直径とする円上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) とすると、
\(\angle{\rm APB}=90^\circ\) より、$$~~~\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm BP}=0$$したがって、$$~~~(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0$$[終]
p.43 問19[証明]
(ⅰ) \({\rm A}\) と \({\rm P}\) が一致するとき、
\(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{0}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)
(ⅰ) \({\rm A}\) と \({\rm P}\) が一致するとき、
\(\overrightarrow{\rm AP}=\overrightarrow{0}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)
(ⅱ) \({\rm A}\) と \({\rm P}\) が一致しないとき、
\(\overrightarrow{\rm AP}\perp\overrightarrow{\rm CA}\)
よって、
\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm CA}=0\)
これらより、いずれの場合でも
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=0\) …①
次に、\(|\overrightarrow{\rm CA}|=r\) より、
\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|^2=r^2\)
また、
\((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) …②
よって、①＋②より
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\)
\(+(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\)
したがって、接線のベクトル方程式は、
\((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) [終]
p.43 問20$$~~~4x+3y=49$$
問題
p.44 問題 7[証明] 点 \({\rm P~,~Q~,~R}\) はそれぞれ線分 \({\rm BC~,~CA~,~AB}\) を \(3:1\) に内分するので、$$~~~\overrightarrow{\rm AP}=\frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm AB}+\frac{\,3\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm AC}$$$$~~~\overrightarrow{\rm AQ}=\frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm AC}~,~\overrightarrow{\rm AR}=\frac{\,3\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm AB}$$また、$$~~~\overrightarrow{\rm BQ}=\overrightarrow{\rm AQ}-\overrightarrow{\rm AB}=\frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB}$$$$~~~\overrightarrow{\rm CR}=\overrightarrow{\rm AR}-\overrightarrow{\rm AC}=\frac{\,3\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm AB}-\overrightarrow{\rm AC}$$これより、$$\begin{split}&\overrightarrow{\rm AP}+\overrightarrow{\rm BQ}+\overrightarrow{\rm CR}\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm AB}+\frac{\,3\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm AC}\\[3pt]~~~&~~~+\frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB}+\frac{\,3\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm AB}-\overrightarrow{\rm AC}\\[3pt]~~=~&\overrightarrow{0}\end{split}$$[終]
p.44 問題 10\({\small (1)}~\)[証明]
$$\begin{eqnarray}~~~l\overrightarrow{\rm AP}+m\overrightarrow{\rm BP}+n\overrightarrow{\rm CP}&=&\overrightarrow{0}
\\[2pt]~~~l\overrightarrow{\rm AP}+m(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB})
\\[2pt]~~~+n(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AC})&=&\overrightarrow{0}
\\[2pt]~~~~~~(l+m+n)\overrightarrow{\rm AP}&=&m\overrightarrow{\rm AB}+n\overrightarrow{\rm AC}\end{eqnarray}$$これより、$$\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\frac{\,m\overrightarrow{\rm AB}+n\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,l+m+n\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,m+n\,}{\,l+m+n\,}\times\frac{\,m\overrightarrow{\rm AB}+n\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,n+m\,}\end{eqnarray}$$
ここで、$$~~~\overrightarrow{\rm AD}=\frac{\,m\overrightarrow{\rm AB}+n\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,n+m\,}$$とすると、点 \({\rm D}\) は線分 \({\rm BC}\) を \(n:m\) に内分する点である
また、$$~~~\overrightarrow{\rm AP}=\frac{\,m+n\,}{\,l+m+n\,}\overrightarrow{\rm AD}$$ここで、\({\large \frac{\,m+n\,}{\,l+m+n\,}}< 1\)
これより、点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AD}\) 上にある
したがって、点 \({\rm P}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の内部にある [終]
p.44 問題 12[証明] それぞれの法線ベクトルは、$$~~~\overrightarrow{n_1}=(a_1~,~b_1)~,~\overrightarrow{n_2}=(a_2~,~b_2)$$２直線が平行のとき、法線ベクトルも平行となるので \(\overrightarrow{n_1}=k\overrightarrow{n_2}\) より、$$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}a_1=ka_2 \\b_1=kb_2 \end{array}\right.\end{eqnarray}$$よって、$$\begin{eqnarray}~~~\frac{\,a_1\,}{\,a_2\,}&=&\frac{\,b_1\,}{\,b_2\,}\\[3pt]~~~a_1b_2-a_2b_1&=&0\end{eqnarray}$$
また、２直線が垂直のとき、法線ベクトルも垂直となるので \(\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}=0\) より、$$~~~a_1a_2+b_1b_2=0$$[終]
また、２直線が垂直のとき、法線ベクトルも垂直となるので \(\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}=0\) より、$$~~~a_1a_2+b_1b_2=0$$[終]
３節 空間におけるベクトル
p.47 問1$$~~~{\rm H}(2~,~5~,~0)$$$$~~~{\rm A}(2~,~0~,~0)$$$$~~~{\rm B}(0~,~5~,~0)$$$$~~~{\rm C}(0~,~0~,~4)$$
p.47 問2$${\small (1)}~(3~,~2~,~-1)$$$${\small (2)}~(3~,~-2~,~1)$$$${\small (3)}~(3~,~-2~,~-1)$$$${\small (4)}~(-3~,~2~,~-1)$$$${\small (5)}~(-3~,~-2~,~-1)$$
p.47 問3$${\small (1)}~3$$$${\small (2)}~7$$
p.48 問4\(x=0\) は \(yz\) 平面
\(y=3\) は \(zx\) 平面に平行で \(y\) 軸との交点の \(3\) の平面
\(z=-1\) は \(xy\) 平面に平行で \(z\) 軸との交点の \(-2\) の平面
\(y=3\) は \(zx\) 平面に平行で \(y\) 軸との交点の \(3\) の平面
\(z=-1\) は \(xy\) 平面に平行で \(z\) 軸との交点の \(-2\) の平面
p.48 問5$${\small (1)}~z=4$$$${\small (2)}~x=2$$$${\small (3)}~P'(2~,~-1~,~4)$$
p.50 問6$${\small (1)}~\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$$$${\small (2)}~\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$$${\small (3)}~2\overrightarrow{b}$$$${\small (4)}~2\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}$$
p.51 問7$${\small (1)}~2\overrightarrow{a}+\frac{\,3\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}$$$${\small (2)}~2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+\frac{\,3\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}$$$${\small (3)}~2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$$$${\small (4)}~-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+\frac{\,3\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}$$
p.52 問8$$~~~\overrightarrow{a}=\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}+3\overrightarrow{e_3}$$
p.53 問9$${\small (1)}~7$$$${\small (2)}~4\sqrt{3}$$
p.53 問10$${\small (1)}~(2~,~-5~,~4)$$$${\small (2)}~(8~,~-6~,~-2)$$
p.54 問11$$~~~\overrightarrow{p}=4\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}$$
p.54 問12$$~~~(-6~,~5~,~8)~,~5\sqrt{5}$$
p.55 問13\({\small (1)}~\)[証明]
\(|\overrightarrow{e_1}|=|\overrightarrow{e_2}|=|\overrightarrow{e_3}|=1\) より、$$~~~\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_1}=1\times1\times\cos{0^\circ}=1$$同様に、$$~~~\overrightarrow{e_2}\cdot\overrightarrow{e_2}=1~,~\overrightarrow{e_3}\cdot\overrightarrow{e_3}=1$$したがって、$$~~~\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_2}\cdot\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3}\cdot\overrightarrow{e_3}=1$$[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(|\overrightarrow{e_1}|=|\overrightarrow{e_2}|=|\overrightarrow{e_3}|=1\) より、$$~~~\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}=1\times1\times\cos{90^\circ}=0$$同様に、$$~~~\overrightarrow{e_2}\cdot\overrightarrow{e_3}=0~,~\overrightarrow{e_3}\cdot\overrightarrow{e_1}=0$$したがって、$$~~~\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_2}\cdot\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{e_3}\cdot\overrightarrow{e_1}=0$$[終]
\(|\overrightarrow{e_1}|=|\overrightarrow{e_2}|=|\overrightarrow{e_3}|=1\) より、$$~~~\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_1}=1\times1\times\cos{0^\circ}=1$$同様に、$$~~~\overrightarrow{e_2}\cdot\overrightarrow{e_2}=1~,~\overrightarrow{e_3}\cdot\overrightarrow{e_3}=1$$したがって、$$~~~\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_2}\cdot\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3}\cdot\overrightarrow{e_3}=1$$[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(|\overrightarrow{e_1}|=|\overrightarrow{e_2}|=|\overrightarrow{e_3}|=1\) より、$$~~~\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}=1\times1\times\cos{90^\circ}=0$$同様に、$$~~~\overrightarrow{e_2}\cdot\overrightarrow{e_3}=0~,~\overrightarrow{e_3}\cdot\overrightarrow{e_1}=0$$したがって、$$~~~\overrightarrow{e_1}\cdot\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_2}\cdot\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{e_3}\cdot\overrightarrow{e_1}=0$$[終]
p.55 問14$${\small (1)}~4$$$${\small (2)}~-8$$$${\small (3)}~0$$$${\small (4)}~-4$$
p.55 問15$${\small (1)}~20$$$${\small (2)}~-8$$
p.56 問16$${\small (1)}~\theta=45^\circ$$$${\small (2)}~\theta=90^\circ$$
p.56 問17$$~~~k=3~,~-1$$
p.57 問18$$~~~(2~,~-2~,~-3)~,~(-2~,~2~,~3)$$
p.58 問19内分する点$$\small~~~\left(\frac{\,na_1+mb_1\,}{\,m+n\,}~,~\frac{\,na_2+mb_2\,}{\,m+n\,}~,~\frac{\,na_3+mb_3\,}{\,m+n\,}\right)$$外分する点$$\scriptsize~~~\left(\frac{\,-na_1+mb_1\,}{\,m-n\,}~,~\frac{\,-na_2+mb_2\,}{\,m-n\,}~,~\frac{\,-na_3+mb_3\,}{\,m-n\,}\right)$$
p.58 問20[証明] 辺 \({\rm BC}\) の中点 \({\rm M}(\overrightarrow{m})\) は、$$~~~\overrightarrow{m}=\frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}$$重心 \({\rm G}\) は線分 \({\rm AM}\) を \(2:1\) に内分する点であるので、$$\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g}&=&\frac{\,\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{m}\,}{\,2+1\,}\\[2pt]~~~&=&\frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}$$[終]
p.59 問21[証明] 点 \({\rm A~,~B~,~C}\) の位置ベクトルをそれぞれ \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) とすると、$$~~~\overrightarrow{\rm OP}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}$$$$~~~\overrightarrow{\rm OR}=\frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$$$$~~~\overrightarrow{\rm OE}=\frac{\,2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,3\,}$$$$~~~\overrightarrow{\rm OF}=\frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}$$線分 \({\rm PR}\) を \(1:2\) に内分する点を \({\rm K}\) とすると、$$~~\overrightarrow{\rm OK}=\frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OP}+\frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OR}=\frac{\,2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,6\,}$$また、線分 \({\rm EF}\) の中点を \({\rm L}\) とすると、$$~~\overrightarrow{\rm OL}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OE}+\frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OF}=\frac{\,2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,6\,}$$[終]
p.60 問22$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OG}=\frac{\,2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\,}{\,9\,}$$
\({\small (2)}~\) [証明] 点 \({\rm G’}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の重心より、$$~~~\overrightarrow{\rm OG’}=\frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}$$これより、$$\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG’}&=&\frac{\,3\,}{\,2\,}\times\frac{\,2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\,}{\,9\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,3\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OG}\end{eqnarray}$$したがって、直線 \({\rm OG}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G’}\) を通る [終]
\({\small (2)}~\) [証明] 点 \({\rm G’}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の重心より、$$~~~\overrightarrow{\rm OG’}=\frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}$$これより、$$\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG’}&=&\frac{\,3\,}{\,2\,}\times\frac{\,2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\,}{\,9\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,3\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OG}\end{eqnarray}$$したがって、直線 \({\rm OG}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G’}\) を通る [終]
p.61 問23$$~~~t=4$$
p.62 問24$$~~~\overrightarrow{q}=\frac{\,1\,}{\,5\,}\overrightarrow{a}+\frac{\,1\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}+\frac{\,1\,}{\,5\,}\overrightarrow{c}$$
p.63 問25$$~~~(1~,~6~,~5)$$
p.64 問26$${\small (1)}~(x-3)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=14$$$${\small (2)}~(x+1)^2+y^2+(z-3)^2=36$$
問題
p.65 18[証明] 点 \({\rm P}\) が平面 \(\alpha\) 上にあるとき、$$~~~\overrightarrow{\rm AP}=l\overrightarrow{\rm AB}+m\overrightarrow{\rm AC}$$となる定数 \(l~,~m\) が存在する
ここで、\(\overrightarrow{\rm AP}\) と \(\overrightarrow{n}\) の内積は、$$\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{n}&=&(l\overrightarrow{\rm AB}+m\overrightarrow{\rm AC})\cdot\overrightarrow{n}\\[2pt]~~~&=&l\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{n}+m\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{n}\end{eqnarray}$$ここで、\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{n}=0~,~\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{n}=0\) より、$$~~~\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{n}=0$$したがって、\(\overrightarrow{\rm AP}\perp \overrightarrow{n}\) となる [終]
ここで、\(\overrightarrow{\rm AP}\) と \(\overrightarrow{n}\) の内積は、$$\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{n}&=&(l\overrightarrow{\rm AB}+m\overrightarrow{\rm AC})\cdot\overrightarrow{n}\\[2pt]~~~&=&l\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{n}+m\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{n}\end{eqnarray}$$ここで、\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{n}=0~,~\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{n}=0\) より、$$~~~\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{n}=0$$したがって、\(\overrightarrow{\rm AP}\perp \overrightarrow{n}\) となる [終]
p.65 20$${\small (1)}~(4~,~3~,~2)$$\({\small (2)}~\)[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}\) と \(\overrightarrow{\rm OP}\) の内積は、$$\begin{split}&\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm OP}\\[2pt]~~=~&3\times4-6\times3+3\times2\\[2pt]~~=~&0\end{split}$$したがって、\(\overrightarrow{\rm AB}\perp \overrightarrow{\rm OP}\) より \({\rm AB\perp OP}\) となる [終]
p.67 発展 問1$$~~~3:2$$
発展 平面の方程式
p.70 発展 問1$$~~~3x-y-2z+8=0$$
p.70 発展 問2$$~~~x-4y-4z+25=0$$
p.71 発展 問3$$~~~\frac{\,\sqrt{14}\,}{\,14\,}$$
発展 空間における直線の方程式
p.72 発展 問1$${\small (1)}~\frac{\,x-2\,}{\,-2\,}=y-4=\frac{\,z+2\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~\frac{\,x-3\,}{\,5\,}=y-4=\frac{\,z+2\,}{\,4\,}$$
p.73 発展 問2$${\small (1)}~x-5=-y-2~,~z=3$$$${\small (2)}~x=5~,~\frac{\,y+2\,}{\,3\,}=\frac{\,z-3\,}{\,4\,}$$$${\small (3)}~x=5~,~z=3$$
p.73 発展 問3$${\small (1)}~\frac{\,x+1\,}{\,5\,}=\frac{\,y-2\,}{\,-7\,}=\frac{\,z-3\,}{\,3\,}$$$${\small (2)}~x+2=y=-z+2$$$${\small (3)}~\frac{\,x-3\,}{\,2\,}=-z+4~,~y=-2$$$${\small (4)}~x=-2~,~z=3$$
p.73 発展 問4$$~~~\frac{\,x\,}{\,x_1\,}=\frac{\,y\,}{\,y_1\,}=\frac{\,z\,}{\,z_1\,}$$
次のページ「２章 平面上の曲線」
