【新課程】東京書籍：Advanced数学Ｃ[701]

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　２章　平面上の曲線

旺文社の入門問題精講シリーズの紹介高校生の皆さん、数学の勉強に困ったことはありませんか？教科書の内...

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Advanced数学Ｃ　１章　ベクトル
Advanced数学Ｃ　２章　平面上の曲線
Advanced数学Ｃ　３章　複素数平面

２章　平面上の曲線
1. １節　２次曲線
2. ２節　媒介変数表示と極座標

２章　平面上の曲線

１節　２次曲線

p.77 問1${\small (1)}~$焦点 $(1~,~0)$、準線 $x=-1$

${\small (2)}~$焦点 $(-{\Large \frac{\,3\,}{\,2\,}}~,~0)$、準線 $x={\Large \frac{\,3\,}{\,2\,}}$

${\small (3)}~$焦点 $\left({\Large \frac{\,1\,}{\,8\,}}~,~0\right)$、準線 $x=-{\Large \frac{\,1\,}{\,8\,}}$

p.77 問2$$~~~y^2=10x$$

p.77 問3${\small (1)}~$焦点 $(0~,~2)$、準線 $y=-2$
${\small (2)}~$焦点 $(0~,~-3)$、準線 $y=3$

${\small (3)}~$焦点 $\left(0~,~{\Large \frac{\,1\,}{\,4\,}}\right)$、準線 $y=-{\Large \frac{\,1\,}{\,4\,}}$

p.77 問4$${\small (1)}~x^2=16y$$$${\small (2)}~x^2=-\frac{\,3\,}{\,2\,}y$$

p.79 問5${\small (1)}~$頂点 $(2\sqrt{2}~,~0)~,~(-2\sqrt{2}~,~0)$
　　　　$(0~,~2)~,~(0~,~-2)$
　　焦点 $(2~,~0)~,~(-2~,~0)$

${\small (2)}~$頂点 $(2~,~0)~,~(-2~,~0)$
　　　　$(0~,~1)~,~(0~,~-1)$
　　焦点 $(\sqrt{3}~,~0)~,~(-\sqrt{3}~,~0)$

p.79 問6$$~~~\frac{\,x^2\,}{\,9\,}+\frac{\,y^2\,}{\,5\,}=1$$

p.80 問7${\small (1)}~$頂点 $(4~,~0)~,~(-4~,~0)$
　　　　$(0~,~5)~,~(0~,~-5)$
　　焦点 $(0~,~3)~,~(0~,~-3)$
　　長軸 $10$、短軸 $8$

${\small (2)}~$頂点 $(1~,~0)~,~(-1~,~0)$
　　　　$(0~,~3)~,~(0~,~-3)$
　　焦点 $(0~,~2\sqrt{2})~,~(0~,~-2\sqrt{2})$
　　長軸 $6$、短軸 $2$

${\small (3)}~$頂点 $\left({\Large \frac{\,1\,}{\,3\,}}~,~0\right)~,~\left(-{\Large \frac{\,1\,}{\,3\,}}~,~0\right)$

　　　　$\left(0~,~{\Large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\right)~,~\left(0~,~-{\Large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\right)$

　　焦点 $\left(0~,~{\Large \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,6\,}}\right)~,~\left(0~,~-{\Large \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,6\,}}\right)$

　　長軸 $1$、短軸 ${\Large \frac{\,2\,}{\,3\,}}$

p.80 問8楕円$$~~~\frac{\,x^2\,}{\,36\,}+\frac{\,y^2\,}{\,16\,}=1$$

p.81 問9楕円$$~~~\frac{\,x^2\,}{\,4\,}+\frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1$$

p.83 問10${\small (1)}~$頂点 $(2~,~0)~,~(-2~,~0)$
　　焦点 $(\sqrt{13}~,~0)~,~(-\sqrt{13}~,~0)$

${\small (2)}~$頂点 $(5~,~0)~,~(-5~,~0)$
　　焦点 $(\sqrt{41}~,~0)~,~(-\sqrt{41}~,~0)$

p.83 問11$${\small (1)}~\frac{\,x^2\,}{\,4\,}-\frac{\,y^2\,}{\,5\,}=1$$$${\small (2)}~\frac{\,x^2\,}{\,16\,}-\frac{\,y^2\,}{\,9\,}=1$$

p.85 問12$${\small (1)}~y=\frac{\,3\,}{\,2\,}x~,~y=-\frac{\,3\,}{\,2\,}x$$

$${\small (2)}~y=\frac{\,4\,}{\,5\,}x~,~y=-\frac{\,4\,}{\,5\,}x$$

p.85 問13$$~~~\frac{\,x^2\,}{\,8\,}-\frac{\,y^2\,}{\,8\,}=1$$

p.86 問14${\small (1)}~$頂点 $(0~,~3)~,~(0~,~-3)$
　　焦点 $(0~,~5)~,~(0~,~-5)$

　　漸近線 $y={\Large \frac{\,3\,}{\,4\,}}x~,~y=-{\Large \frac{\,3\,}{\,4\,}}x$

${\small (2)}~$頂点 $(0~,~\sqrt{5})~,~(0~,~-\sqrt{5})$
　　焦点 $(0~,~\sqrt{6})~,~(0~,~-\sqrt{6})$
　　漸近線 $y=\sqrt{5}x~y=-\sqrt{5}x$

${\small (3)}~$頂点 $\left(0~,~{\Large \frac{\,1\,}{\,3\,}}\right)~,~\left(0~,~-{\Large \frac{\,1\,}{\,3\,}}\right)$

　　焦点 $\left(0~,~{\Large \frac{\,2\,}{\,3\,}}\right)~,~\left(0~,~-{\Large \frac{\,2\,}{\,3\,}}\right)$

　　漸近線 $y={\Large \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,3\,}}x~,~y=-{\Large \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,3\,}}x$

${\small (4)}~$頂点 $(0~,~2)~,~(0~,~-2)$
　　焦点 $(0~,~\sqrt{10})~,~(0~,~-\sqrt{10})$

　　漸近線 $y={\Large \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}}x~,~y=-{\Large \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}}x$

p.89 問15$${\small (1)}~\frac{\,(x-1)^2\,}{\,9\,}+\frac{\,(y+2)^2\,}{\,5\,}=1$$　焦点 $(3~,~-2)~,~(-1~,~-2)$$${\small (2)}~\frac{\,(x-1)^2\,}{\,4\,}-\frac{\,(y+2)^2\,}{\,9\,}=1$$　焦点 $(1+\sqrt{13}~,~-2)~,~(1-\sqrt{13}~,~-2)$

p.90 問16${\small (1)}~$焦点 $\left( -{\Large \frac{\,3\,}{\,4\,}}~,~1 \right)$、準線 $x={\Large \frac{\,5\,}{\,4\,}}$

${\small (2)}~$焦点 $\left( 0~,~-{\Large \frac{\,1\,}{\,2\,}} \right)$、準線 $x=-{\Large \frac{\,1\,}{\,2\,}}$

p.90 問17${\small (1)}~$楕円 ${\Large \frac{\,x^2\,}{\,9\,}}+{\Large \frac{\,y^2\,}{\,4\,}}=1$ を、

$x$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した楕円

${\small (2)}~$双曲線 ${\Large \frac{\,x^2\,}{\,4\,}}-{\Large \frac{\,y^2\,}{\,5\,}}=-1$ を、

$x$ 軸方向に $-1$ 、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動した双曲線

p.91 問18　$k< 1$ のとき、共有点２個
　$k=1$ のとき、共有点１個
　$k>1$ のとき、共有点なし

p.92 問19$$~~~m=\pm \sqrt{2}$$

p.94 問20${\small (1)}~$楕円 ${\Large \frac{\,x^2\,}{\,16\,}}+{\Large \frac{\,y^2\,}{\,12\,}}=1$ を、

$x$ 軸方向に $8$ だけ平行移動した楕円

${\small (2)}~$放物線 $y^2=12x$ を、
$x$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線

p.95 問21双曲線 ${\Large \frac{\,x^2\,}{\,12\,}}-{\Large \frac{\,y^2\,}{\,4\,}}=-1$ を、

$y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動した双曲線

問題

p.96 問題 1[証明] 円 ${\rm O}$ の半径を $r$、円 ${\rm P}$ の半径を $x$ とすると、
直線 $m$ に関して円 ${\rm O}$ と反対側に直線 $m$ との距離が $r$ となるような直線 $l$ を引く
これより、点 ${\rm P}$ から直線 $I$ に垂線 ${\rm PQ}$ を引くと、
　${\rm PQ}=x+r={\rm OP}$
したがって、点 ${\rm P}$ の軌跡は、
点 ${\rm O}$ を焦点、直線 $l$ を準線とする放物線である [終]

２節　媒介変数表示と極座標

p.99 問1$${\small (1)}~y=-\frac{\,1\,}{\,2\,}x+\frac{\,7\,}{\,2\,}$$$${\small (2)}~x=\frac{\,1\,}{\,4\,}y^2-1$$

p.100 問2$$~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=5\cos{\theta} \\ y=5\sin{\theta}
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$

p.100 問3$$~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=2\cos{\theta} \\ y=3\sin{\theta}
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$

p.100 問4[証明] ${\Large \frac{\,1\,}{\,\cos{\theta}\,}}={\Large \frac{\,x\,}{\,a\,}}~,~\tan{\theta}={\Large \frac{\,y\,}{\,b\,}}$ を

$1+\tan^2{\theta}={\Large \frac{\,1\,}{\,\cos^2{\theta}\,}}$ に代入すると、$$\begin{eqnarray}~~~1+\left( \frac{\,y\,}{\,b\,} \right)^2&=&\left( \frac{\,x\,}{\,a\,} \right)^2
\\[3pt]~~~\frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}-\frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}&=&1
\end{eqnarray}$$[終]

p.101 問5　放物線 $y=x^2+1$ 上を動く

p.101 問6${\small (1)}~$中心 $(2~,~-3)$、半径 $3$ の円

${\small (2)}~$楕円 ${\Large \frac{\,x^2\,}{\,9\,}}+{\Large \frac{\,y^2\,}{\,25\,}}=1$ を、

$x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動した楕円

p.102 問7$$~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x=2\cos{\theta}+4 \\ y=2\sin{\theta}+3
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$

p.104 問8

p.105 問9$$~~~{\rm A}\left(\frac{\,3\sqrt{3}\,}{\,2\,}~,~\frac{\,3\,}{\,2\,} \right)~,~{\rm B}(0~,~2)$$$$~~~{\rm C}(-1~,~0)~,~{\rm D}(2\sqrt{2}~,~-2\sqrt{2})$$

p.105 問10$${\small (1)}~\left(\sqrt{2}~,~\frac{\,\pi\,}{\,4\,} \right)$$$${\small (2)}~\left(2~,~\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi \right)$$$${\small (3)}~\left(2~,~\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi \right)$$

p.106 問11${\small (1)}~$極 ${\rm O}$ を中心の半径 $5$ の円

${\small (2)}~$極 ${\rm O}$ を通り、始線とのなす角が ${\Large \frac{\,\pi\,}{\,3\,}}$ の直線

p.107 問12　直線 $y=2$

p.107 問13[証明] 両辺に $r$ をかけると、$$~~~r^2=6r\cos{\theta}$$ここで、$r^2=x^2+y^2~,~r\cos{\theta}=y$ より、$$\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&6y\\[2pt]~~~x^2+(y-3)^2&=&3^2\end{eqnarray}$$したがって、この極方程式は、
中心 $(0~,~3)$、半径 $3$ の円を表す [終]

p.107 問14$$~~~r\cos{\left( \theta-\frac{\,3\,}{\,4\,}\pi \right)}=4$$

p.108 問15$${\small (1)}~r=2$$$${\small (2)}~r^2(3-4\cos^2{\theta})=1$$

p.108 問16$${\small (1)}~r=-4\cos{\theta}$$$${\small (2)}~r=\frac{\,3\cos{\theta}\,}{\,\sin^2{\theta}\,}$$

p.109 問17${\small (1)}~$楕円 ${\Large \frac{\,9\,}{\,4\,}}\left( x-{\Large \frac{\,1\,}{\,3\,}} \right)^2+3y^2=1$

${\small (2)}~$放物線 $y^2=8(x+2)$

問題

p.112 問題 8[証明] $t={\Large \frac{\,y\,}{\,2p\,}}$ を $x=pt^2$ に代入すると、$$\begin{eqnarray}~~~x&=&p\left(\frac{\,y\,}{\,2p\,} \right)^2\\[3pt]~~~y^2&=&4px\end{eqnarray}$$これより、$t$ が実数全体を動くとき、
放物線 $y^2=4px$ を表す [終]

練習問題

p.114 練習問題Ａ 6${\small (1)}~$[証明] ２直線 ${\rm OP_1~,~OP_2}$ のなす角が、
$|\theta_2-\theta_1|$ または $2\pi-|\theta_2-\theta_1|$
これより、$\triangle {\rm OP_1P_2}$ の面積は、$$~~~\frac{\,1\,}{\,2\,}r_1r_1\sin{|\theta_2-\theta_1|}$$または、$$\begin{split}&\frac{\,1\,}{\,2\,}r_1r_1\sin{\left\{2\pi-|\theta_2-\theta_1|\right\}}
\\[3pt]~~=~&-\frac{\,1\,}{\,2\,}r_1r_1\sin{|\theta_2-\theta_1|}
\end{split}$$したがって、$$~~~\triangle {\rm OP_1P_2}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\left | r_1r_1\sin{(\theta_2-\theta_1)} \right |$$[終]
${\small (2)}~$[証明]$$\small \begin{split}&\triangle {\rm OP_1P_2}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}\left | r_1r_1\sin{(\theta_2-\theta_1)} \right |
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}\left | r_1r_1(\sin{\theta_2}\cos{\theta_1}-\cos{\theta_2}\sin{\theta_1}) \right |
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}\left | r_1\cos{\theta_1}r_2\sin{\theta_2}-r_2\cos{\theta_2}r_1\sin{\theta_1} \right |
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}\left | x_1y_2-x_2y_1 \right |
\end{split}$$[終]

p.115 練習問題Ｂ 11${\small (1)}~$[証明] ${\rm P(r~,~\theta)}$ とすると、
${\rm Q}$ が ${\rm OP}$ を内分するときは、${\rm Q}$ の偏角は $\theta$ に等しい、
よって、${\rm OQ}=a\cos{\theta}$ より、$$\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}&=&r-{\rm OQ}\\[2pt]~~~&=&a(1+\cos{\theta})-a\cos{\theta}\\[2pt]~~~&=&a\end{eqnarray}$$
また、${\rm Q}$ が ${\rm OP}$ を外分するときは、${\rm Q}$ の偏角は $\theta+\pi$ に等しい、
よって、${\rm OQ}=a\cos{(\theta+\pi)}$ より、$$\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}&=&r+{\rm OQ}\\[2pt]~~~&=&a(1+\cos{\theta})+a\cos{(\theta+\pi)}
\\[2pt]~~~&=&a+a\cos{\theta}-a\cos{\theta}
\\[2pt]~~~&=&a\end{eqnarray}$$したがって、${\rm PQ}$ は一定である [終]

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２章 平面上の曲線

１節 ２次曲線

２節 媒介変数表示と極座標

２章　平面上の曲線

１節　２次曲線

２節　媒介変数表示と極座標