３点を通る２次関数の決定
この式に３点の座標を代入した３つの式より、\(a,b,c\) を求めます。
\(a,b,c\) についての３つの１次方程式の解き方は、
① \(a,b,c\) のうち消しやすい文字を消して、２つの２元１次方程式を作ります。
② これを連立方程式として解きます。
③ はじめに消去した文字の値も求めます。
問題解説
求める２次関数を$$~~~y=ax^2+bx+c$$とすると、
点 \((1,3)\) を通ることより、点の座標を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}3=a\cdot 1^2+b\cdot 1 +c$$$$\hspace{ 10 pt}3=a+b+c$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}a+b+c=3~~~\cdots{\large ①}$$
点 \(2,3)\) を通ることより、点の座標を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}3=a\cdot 2^2+b\cdot 2 +c$$$$\hspace{ 10 pt}3=4a+2b+c$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}4a+2b+c=3~~~\cdots{\large ②}$$
点 \((3,1)\) を通ることより、点の座標を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}1=a\cdot 3^2+b\cdot 3 +c$$$$\hspace{ 10 pt}1=9a+3b+c$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}9a+3b+c=1~~~\cdots{\large ③}$$
ここで、②−①より、$$\hspace{ 10 pt}(4a+2b+c)-(a+b+c)=3-3$$$$\hspace{ 25 pt}4a+2b+c-a-b-c=0$$左辺を整理すると、$$\hspace{ 10 pt}3a+b=0~~~\cdots④$$
また、③−①より、$$\hspace{ 10 pt}(9a+3b+c)-(a+b+c)=1-3$$$$\hspace{ 26 pt}9a+3b+c-a-b-c=-2$$左辺を整理すると、$$\hspace{ 10 pt}8a+2b=-2$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}4a+b=-1~~~\cdots⑤$$
次に、⑤−④より、$$\hspace{ 10 pt}(4a+b)-(3a+b)=-1-0$$$$\hspace{ 26 pt}4a+b-3a-b=-1$$左辺を整理すると、$$\hspace{ 10 pt}a=-1$$これを④に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}3\cdot(-1)+b=0$$$$\hspace{ 30 pt}-3+b=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}b=3$$これらを①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}-1+3+c=3$$$$\hspace{ 35 pt}2+c=3$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}c=3-2$$$$\hspace{ 10 pt}c=1$$
したがって、\(y=ax^2+bx+c\) に代入すると、$$~~~y=-x^2+3x+1$$となります。
今回のまとめ
通る３点が与えられたときの２次関数の式は、用いる２次関数の式の形と３元１次方程式の解き方を覚えておきましょう。
