２次関数とx軸との交点の条件
よって、２次方程式の解の判別式を \(D\) とすると、
( ⅰ ) \(x\) 軸と２点で交わるとき
２次方程式の解が２個となるので、
これが条件となります。
( ⅱ ) \(x\) 軸と接するとき(交点が１個)
２次方程式の解が１個(重解)となるので、
これが条件となります。
( ⅲ ) \(x\) 軸と交わらないとき
２次方程式の解なしとなるので、
これが条件となります。
問題解説：２次関数とx軸との交点の条件
問題解説(1)
\({\small (1)}\) 次の２次関数が \(x\) 軸と２点で交わるとき、\(k\) の値の範囲を求めよ。$$~~~y=x^2-(2k-1)x+k^2$$
\(x\) 軸と２点で交わることより、$$~~~x^2-(2k-1)x+k^2=0$$この２次方程式の判別式 \(D\) が \(D>0\) となればよい。
よって、$$\hspace{ 10 pt}D=\{-(2k-1)\}^2-4\cdot1\cdot k^2$$$$\hspace{ 20 pt}=(2k-1)^2-4k^2$$$$\hspace{ 20 pt}=4k^2-4k+1-4k^2$$$$\hspace{ 20 pt}=-4k+1$$条件 \(D>0\) より、$$\hspace{ 10 pt}-4k+1>0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-4k>-1$$両辺を \(-4\) で割ると、不等号の向きが逆になるので、$$\hspace{ 10 pt}k<\frac{-1}{-4}$$$$\hspace{ 10 pt}k<\frac{1}{4}$$よって、答えは$$~~~k<\frac{1}{4}$$となります。
問題解説(2)
\({\small (2)}\) 次の２次関数が \(x\) 軸と接するとき、\(k\) の値と接点の座標を求めよ。$$~~~y=x^2-2kx+7k-6$$
\(x\) 軸と接することより、$$~~~x^2-2kx+7k-6=0~~~\cdots{\Large ①}$$この２次方程式の判別式 \(D\) が \(D=0\) となればよい。
よって、$$\hspace{ 10 pt}D=(-2k)^2-4\cdot1\cdot(7k-6)$$$$\hspace{ 20 pt}=4k^2-4(7k-6)$$$$\hspace{ 20 pt}=4k^2-28k+24$$条件 \(D=0\) より、$$\hspace{ 10 pt}4k^2-28k+24=0$$両辺を \(4\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}k^2-7k+6=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(k-1)(k-6)=0$$よって、$$~~~~~k=1~,~6$$となります。
( ⅰ ) \(k=1\) のとき
①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2-2\cdot1\cdot x+7\cdot1-6=0$$$$\hspace{ 43 pt}x^2-2x+7-6=0$$$$\hspace{ 60 pt}x^2-2x+1=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x-1)^2=0$$よって、\(x-1=0\) より、解は$$~~~x=1$$となります。
( ⅱ ) \(k=6\) のとき
①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2-2\cdot6\cdot x+7\cdot6-6=0$$$$\hspace{ 32 pt}x^2-12x+42-6=0$$$$\hspace{ 50 pt}x^2-12x+36=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(x-6)^2=0$$よって、\(x-6=0\) より、解は$$~~~x=6$$となります。
よって、答えは$$~~~k=1~,~x=1$$または$$~~~k=6~,~x=6$$となります。
今回のまとめ
２次関数と \(x\) 軸との交点の個数が条件として与えられたときは、その２次関数を２次方程式とした判別式 \(D\) の条件を用いて解きましょう。
